I- Langage des probabilités: On appelle univers ( ou univers des possibles) , l’ensemble des résultats ( ou éventu- alités) […]
I- Langage des probabilités:
- On appelle univers ( ou univers des possibles) , l’ensemble des résultats ( ou éventu- alités) possibles d’une expériences aléatoire.Cet ensemble se note W .
- Toute partie A de W est appelée événement.
- Si A =Æ,on dit que A est l’événement
- Si A =W , on dit que A est l’événement
- Si A est une partie contenant un seul élément de W , on dit que A est un événement élémentaire.
- L’événement A ∩ B est l’évènement ” sont réalisés simultanément .
- L’événement A ∪ B est l’évènement ” événements A et B est réalisé.
A et B ” . Il est réalisé si les deux événements A et B
A ou B ” . Il est réalisé si l’un au moins des deux
- L’ensemble C A =W\ A , qu’on note A , est l’évènement contraire de A .Il est réalisé ssi
A n’est pas réalisé.
- Deuxévènements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps .C-à-d ssi A ∩ B ¹Æ .
- Si A et B sont deux évènements de W tels que A Ì B alors éléments de B qui n’appartiennent pas à A .
Activité 1 p 309:
Soit les évènements suivants:
A :”L’élève pratique des activités sportives ou culturelles”
B \ A désigne l’ensemble des
B :”L’élève ne pratique ni des activités culturelles ni des activités sportives ”
C :”L’élève pratique des activités culturelles et non sportives ”
P (A ) = P (E ∪ F ) = P (E ) + P (F ) – P (E ∩ F ) = 0,35 + 0, 4 – 0,1 = 0,65
2/ On a : B = A
donc
P (B ) = P (A ) = 1- P (A ) = 0,35
3/ On a : C = E \ F donc
P (C ) = P (E \ F ) = P (E ) – P (E ∩ F ) = 0,35 – 0,1 = 0, 25
Définition d’une probabilité:
Propriétés:
Activité 3 p 311:
Visiteurs Tunisiens | Visiteurs étrangers | Total | |||||||
Hommes | 100 | 250 | 350 | ||||||
Femmes | 90 | 270 | 360 | ||||||
Enfants | 220 | 70 | 290 | ||||||
Total | 410 | 590 | 1000 | ||||||
2/ a)
P (A ) =
360
1000
= 0,36
; P (B ) =
590
1000
= 0,59 ;
P (C ) =
220
1000
= 0, 22
- b) P (A ∩ B ) =
270
1000
= 0, 27
; P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B ) = 0,68
- D : ” Le billet choisi est celle d’un homme Tunisien “;
P (D ) = 100 » 0, 286
350
II-
Probabilité uniforme : Définition:
Activité 4 p 313 :
1/ L’ensemble des tirages possibles de W est l’ensemble des applications d’un ensemble de
3 éléments vers un ensemble de 7 éléments , donc
33 ´ 43
card (W) = 73 .
P (A ) = =
73
|
1 1 2
P (B ) = 3 = ; ( C 1
: choix de la place de la boule blanche tirée ).
73 3
C 1 ´ 42 ´ 31
P (C ) = 3 = ; ( C 1
: choix de la place de la boule qui porte le numéro 1 ).
73 3
Type de tirage réalisant E : (1 B1 ;1 N 1 ;1 N 2 )
III- Probabilité conditionnelle : Activité 1 p 314:
1/ P (A ) =
30
100
= 0, 3 ;
P (B ) =
60
100
= 0, 6 ;
P (C ) = 10 = 1
60 6
2/ a)
P (A ∩ B ) =
10
100
= 0,1
- b) P (A ∩ B )= 1 = P (C )
P (B ) 6
Définition:
Propriétés :
IV- Evènements indépendants:
Définition:
Remarque :
Deux évènements A et B sont dits indépendants lorsque la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre.
Activité 4 p 317:
card (W) = 2n
1/ n = 2 :
card (W) = 22 = 4
P (M ) = 2 = 1
4 2
F ={(f ; g ) ; (g ;f
) ; (g ; g )} ; f
: fille ;
g : garçon ;
P (F ) = 3
4
M ∩ F ={(g ;f
) ; (f ; g )}
; P (M
∩ F ) = 2 = 1
4 2
On a : P (M ∩ F ) ¹ P (M )´P (F ) donc les deux évènements M et F ne sont pas indépendants.
2/ n = 3:
card (W) = 23 = 8
M = {(f ;f ;f
) ; (g ; g ; g )}
; P (M ) = 1- P M = 1- 2 = 3
|
8 4
F = {(f ; g ; g ) ; (g ;f ; g ) ; (g ; g ;f
) ; (g ; g ; g )} ; P (F ) = 4 = 1
8 2
M ∩ F ={(f ; g ; g ) ; (g ;f ; g ) ; (g ; g ;f ) } ;
P (M
∩ F ) = 3
8
On a : P (M ∩ F ) = P (M )´P (F ) donc les deux évènements M et F sont indépendants.
3/ a) n ³ 2 :
|
|
card (M ) = åC k
= åC k –C 0 –C n = 2n – 2
( avoir k filles (1£ k £ n -1) et n – k garçons)
Donc
k =1
P (M ) =
n n n n k =0
2n – 2 2n
n -1
M = ∪ M k k =1
donc card (M ) = åcard (M
k =1
n -1
|
k k n –k
k n
k =1
=2n – 2
Donc
P (M ) =
2n – 2 2n
Ou bien:
2 2n – 2
|
P M = 1- P M = 1- =
2n 2n
ì ü
|
ïæ ö ï
|
|
F : ïç f ;
⏟g … g ÷ ;
g ; … g
––
ï donc
P (F ) = n +1
|
ïç (n -1) garçons
n garçons ï 2
è––––ø ––
ï ï
|
î il ya C 1 =n possibilités
b)
il ya une seule possibilitéþ
n
2n – 2
n +1
|
P (M ∩ F ) = P (M )´ P (F ) Û n Û Û n = 3
2 2 2
V – Principe des Probabilités composées: Activité 1 p 317:
1/ On a :
A ∩ B Ì A Þ 0 £ P (A ∩ B ) £ P (A ) = 0 Þ P (A ∩ B ) = 0 .
2/ PA
(B ) = P (A ∩ B )
|
P A
d’où le résultat
3/ P (A ∩ B ) = P (A ) ´ PA (B )üï Þ
P (A ) ´ P
(B ) = P (B ) ´ P
(A )
|
P (A ∩ B ) = P (B ) ´ PB
(A )ýï A B
4/ P (A ∩ B ∩C ) = P ((A ∩ B )∩C ) = P (A ∩ B ) ´ P(A ∩B ) (C ) = P (A ) ´ PA (B ) ´ P(A ∩B ) (C )
Principe des Probabilités composées:
- – Principe des probabilités totales – Formule de Bayes:
Activité 1 p 321:
- c) P (A ) =P (A ∩ B ) +P (A ∩ B ) = P (B )´ PB (A ) + P (B )´ PB (A )
- P
P (A ∩ B )
|
B
P (B )´ PB (A )
A P (A )
P (B )´ P
(A ) + P (B )´ P
(A )
B B
Principes des Probabilités totales:
Plus généralement :
n
Si ∪ Ai
i =1
= W , n Ï *
; Ai ∩ A j
= Æ , ” i ¹ j
et P (Ai
) ¹ 0 alors pour tout évènement B on a
P (B ) = å P (Ai )´ PAi (B )
i =1
Formule de Bayes:
Exercice n°01:
🙧⁂⁂⁂🙥
Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires ; ces 6 boules sont indiscernables au toucher.
1/ On effectue quatre tirages successifs et sans remise d’une boule.
- Calculer la Probabilité de tirer dans l’ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule
- Calculer la Probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre
3/ On effectue n (n Î* )tirages successifs avec remise. On appelle
Pn la Probabilité
d’obtenir au cours de ces n tirages une blanche uniquement au dernier tirage.
- Calculer P1
; P2
; P3 et
Pn .
- SoitS
|
|
= P + P
+ P ++ P
; (n Î* \ {1})
|
|
Exprimer S n en fonction de n et déterminer lim Sn
Exercice n° 02 :
Dans un laboratoire se trouve une cage avec 100 souris présentant deux caractères :
sexe(mâle ou femelle) , couleur (blanche ou noire) ; 87 sont mâles , 57 sont blanches et 55
sont mâles et blanches.
1/ Donner l’effectif par catégorie.
2/ Un assistant prend une souris au hasard .Calculer la probabilité pour qu’il obtient une souris blanche ou une souris mâle.
3/ Il décide de choisir 6 souris. Calculer la Probabilité pour qu’il obtient 6 souris blanches si les prélèvements sont réalisés:
- Avec remise
- Sans remise Exercice n° 03:
Un nouveau vaccin a été testé sur 12500 personnes ; 75 d’entre elles , dont 35 femmes enceintes , ont eu des réactions secondaires nécessaires nécessitant une hospitalisation. 1/ Sachant que ce vaccin a été administré à 680 femmes enceintes , qu’elle est
la Probabilité qu’une femme enceinte ait eu une réaction secondaire si elle reçoit le vaccin ?
2/ Quelle est la Probabilité qu’une personne non enceinte ait une réaction secondaire ?
Exercice n°04 :
Une boite de médicament Une boite de médicament Une boite de médicament
B1 contient 10 comprimés jaunes.
B 2 contient 4 comprimés jaunes et 1 rouge.
B 3 contient 5 comprimés jaunes et 5 rouges.
1/ On prend une boite au hasard et de cette boite , on tire un comprimé au hasard . On suppose que le comprimé tiré est rouge.
- Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
- Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
- Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
B1 .
B 2 .
B 3 .
2/ On réunit les 25 comprimés des boites comprimé obtenu est rouge.
B1 ; B 2
et B 3 . on tire au hasard un comprimé et le
- Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
- Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
- Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite Exercice n°05:
B1 .
B 2 .
B 3 .
Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher.
1/ On tire simultanément deux boules de l’urne ; déterminer :
- La Probabilité
- La Probabilité
- La Probabilité
P1 de tirer 2 boules rouges.
P2 de tirer 2 boules blanches.
P3 de tirer 2 boules de couleurs différentes.
2/ On tire une boule , on note sa couleur , on la remet dans l’urne et on tire une deuxième boule , déterminer :
- La Probabilité
- La Probabilité
- La Probabilité
P ¢ de tirer 2 boules rouges.
|
|
P ¢ de tirer 2 boules blanches.
|
P ¢ de tirer 2 boules de couleurs différentes.
Année Scolaire 2007/2008 9 Prof : Faleh Abdessattar
Exercice n°06:
On tire au hasard , successivement et sans remise , 4 lettres du mot ” ABDESSATTAR” . On considère le mot formé par les lettres dans l’ordre où elles apparaissent.
Quelle est la Probabilité d’obtenir le mot ” STAR” ?. Exercice n°07:
On considère un espace probabilisé et deux évènements A et B .
Calculer
P (A ∪ B ) et
PA (B ) sachant que
P (A ) = 0,5 ;
P (B ) = 0, 4 et P
(B ) = 0,6 .
|
Exercice n°08:
Soit
A1 et
A2 deux ensembles de boules. On suppose que
A1 contient 70 % de boules blanches
et que
A2 en contient 80 % , on suppose en outre que
A1 contient trois fois plus de boules
que
A2 . On place toutes les boules de
A1 et
A2 dans une même urne. On en tire un au hasard
, on constate qu’elle est blanche .
Quelle est la probabilité pour que cette boule provienne de Exercice n°09:
A1 .
Mr Chokri arrive à un carrefour . Il sait qu’à cet endroit il va trouver deux routes, une
seule de ces routes qui amène à Hajeb Laayoun. Il y a trois frères à ce carrefour.
F1 dit la vérité 2 fois sur 10 . F2 dit la vérité 5 fois sur 10 . F3 dit la vérité 9 fois sur 10 .
Il n’y a pas d’autre personne à ce carrefour ; Mr Chokri s’adresse au hasard à un ,et à un
seul des trois frères. Il demande son chemin, et s’aperçoit par la suite que ce chemin est le bon .
Quelle est la Probabilité qu’il se soit adressé à F1 ?
Exercice n°10:
Quand il pleut la Probabilité qu’il pleuve le lendemain est 0,8 , elle est seulement de 0,3 s’il fait beau. Aujourd’hui il fait beau . Quelle est la Probabilité qu’il fasse beau dans 10 jours ?
Exercice n°11:
Quelle est la Probabilité pour un point pris au hasard à l’intérieur d’une sphère de rayon
R d’être plus prés du centre que de la surface de la sphère ? Exercice n°12:
Une urne contient r boules rouges et n boules noires. Une boule est choisie au hasard on note sa couleur, et on la remet avec d boules supplémentaires de la même couleur. Puis on recommence la même procédure aussi souvent que nécessaire. Trouver
la probabilité pour que :
- La seconde boule tirée soit
La première boule est noire, sachant que la sec