‘‘Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie’’ Exercice 1 (3 points) […]
‘‘Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie’’
Exercice 1 (3 points)
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse :
- Lorsque θ varie dans[0,π] , le point M d’affixei+ 2eiθ
varie sur un cercle.
- Si z est un nombre complexe tel que
z = 2 , alors
z +iz = 2 .
- Si lim f(x) = – ¥ , et si, pour tout
x®+¥
x £ 2, g(x) = 4x – 2 – x, alors lim gοf(x) = +¥.
x®+¥
Exercice 2 (6 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, u, v).
Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, -3i et –i.
Pour tout point M du plan d’affixe z (z≠ -3i), on associe le point M’ d’affixe z’ définie par :
z¢ =
iz -1 . z + 3i
- Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.
- Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z¢=
- a) Vérifier que (z’ – i)(z + 3i) =
→‸––––→ →‸–––→
- b) En déduire que AM’.BM = 2 et que(υ, ΑΜ¢) +(υ,ΒΜ) º0[2π].
iπ
- Soit le point E d’affixe zE = -3i – 2e 4 .
- Calculer
- Déterminer
→ –––→
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(u,BE).
Exercice 3 (6 points)
A/ Soit la fonction f définie sur ℝ par :
ì
ïx + x2 -1 si x á -1
|
ï
f(x) = í4x + 6x -1 si -1£ x £ 0 .
ï1- cos(πx)
- a) Calculer
lim f(x).
x®-¥
ï -1 si x ñ 0
î x
- Montrer que, pour tout x > 0, -1£ f(x) £ 2 -1.
x
- En déduire
lim f(x).
x®+¥
- Etudier la continuité de f en (-1) et en
B/ Soit la fonction g définie sur ℝ par : g(x) =
- Déterminer le domaine de continuité de
x2 -1- 4.
- Soit h la restriction de g à l’intervalle [1, + ¥[.
- Montrer que h est strictement croissante sur[1, + ¥[.
- Déterminer h ([1, + ¥[ ).
- Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une unique solution sur [4 , 5].
Exercice 3 (5 points)
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Dans le graphique ci-contre, on a représenté La courbe (C ) d’une fonction f définie sur ℝ*. La droite : ∆ : y = x est une asypmtote à (Cf )
au voisinage de +∞, la droite : y = 1 est une
asymptote à (Cf ) au voisinage de -∞ l’axe des ordonnées est une asymptote à (Cf ) à gauche et à droite en 0.
Utiliser la graphique pour répondre.
1) Déterminer
lim f(x) , lim f(x) – x , lim f(x)
, lim 1
et lim f(x)sin(
1 ).
x®+¥
x®+¥
x®-¥ x
x®-1 f(x)
x®0
f(x)
2) Déterminer f(]-¥,-1]) , f([-1,0[) et f(]0,1]).
- Montrer que la fonction g définie par g(x) =
est continue sur
ℝ* \ {-1}.
- La fonction g admet elle un prolongement par continuité en