Nom et prénom :……………………….. EXERCICE N°1 (3pts) Cocher la réponse juste 1/ Sachant que 𝑒𝑖𝜃 est […]
Nom et prénom :………………………..
EXERCICE N°1 (3pts)
Cocher la réponse juste
1/ Sachant que 𝑒𝑖𝜃 est une solution de l’équation :𝑧2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑧 + 1 = 0 alors l’autre solution est :
- a) 𝑒−𝑖𝜃 b) 𝑖𝑒𝑖𝜃 c) 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃
2/ Les racines cubiques de 𝑧 = 4√2 (1 + 𝑖) sont de la forme
𝑖� 𝜋 +2𝑘𝜋�
𝑖� 𝜋 +2𝑘𝜋�
𝑖� 𝜋 +2𝑘𝜋�
𝑎){ 𝑧𝑘 = 2 𝑒
12 3
; 𝑘 ∈ {0,1,2; 3}} b) { 𝑧𝑘 = 2 𝑒 4 3
; 𝑘 ∈ {0,1,2}} c) { 𝑧𝑘 = 2 𝑒
12 3
; 𝑘 ∈ {0,1,2}}
3/ Soit f la fonction dérivable sur [1 ;4] et pour tout 𝑥 ∈ [1 ; 4]𝑜𝑛 𝑎 |𝑓′(𝑥)| ≤ 4 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
- a) |𝑓(4) − 𝑓(1)| ≤ 4 b) |𝑓(4) − 𝑓(1)| ≤ 12 c) |𝑓(4) − 𝑓(1)| ≤ 4
3
EXERCICE N°2 (5pts)
On donne la courbe 𝐶𝑓 représentative dans un repère orthonormé (𝑜 ; 𝚤⃗ ; 𝑗⃗)d’une fonction f deux fois dérivables sur IR ainsi que le tableau de variation de la fonction 𝑓′𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑑𝑒 𝑓.
- 𝐶𝑓 admet au voisinage de (−∞) une branche parabolique de direction celle de (𝑜 ; 𝑗⃗)
- 𝐶𝑓 admet au voisinage de (+∞) une branche parabolique de direction celle de (𝑜 ; 𝚤⃗)
Par lecture graphique
1/ a)Déterminer : 𝑓’(−1) = ⋯ ; 𝑓’(2) = ⋯ ; lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = ⋯ ; lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = ⋯ ; lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = ⋯
𝑥 𝑥 𝑥
et (𝑓𝑜𝑓)′(−2) =……………….=……………..=………………..
- Déterminer l’équation de la tangente T à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 1
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- Déterminer la position relative de 𝐶𝑓 par rapport a T sur [1 ; +∞[
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2/ a) Déterminer le signe de 𝑓’’ (dérivée seconde de f )
- b) En déduire que 𝐶𝑓 admet un point d’inflexion dont on précisera les coordonnés
…………………………………………………………………………………………………………… 3/ Soit g la restriction de f sur [−1 ; +∞[
- Montrer que g realise une bijection de [−1 ; +∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.
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- Montrer que 𝑔−1 (fonction réciproque de g) est dérivable en 1 et calculer (𝑔−1)′(1)
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4/ a) Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [1 ; +∞[ 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 0 ≤ 𝑓′(𝑥) ≤ 1
2
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- b) Déduire que pour tout 𝛼 ∈ [1 ; +∞[ 𝑜𝑛 𝑎: 𝑓(𝛼) − 1 ≤ 1 𝛼 − 1
2 2
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- Retrouver la position relative de 𝐶𝑓 par rapport a T sur [1 ; +∞[
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Exerice n°3 : (𝑪 𝑒𝑡 𝑪′ )
Lycée Ibn Charaf
Ennadhour |
DEVOIR DE SYNTHESE N °1 | Prof :BOUZID.M |
Le 24/01/2018 |
Epreuve: MATHEMATIQUES |
Classe : 4Tech2-3
Durée : 2h |
EXERCICE N°3 (6pts)
|
Soit la fonction f définie sur]−∞; 0] 𝑝𝑎𝑟 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1
𝑥 +1
et 𝑪 la courbe représentative de f dans un repère
Orthonormé (𝑜 ; 𝚤⃗ ; 𝑗⃗)
1/ Calculer lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) et interpréter graphiquement le résultat 2/ Dresser le tableau de variation de f
3/ Tracer 𝑪 ( sur l’annexe à rendre)
4/ Montrer que f réalise une bijection de ]−∞; 0] sur un intervalle J que l’on précisera. 5/ Soit la fonction g définie sur ]−∞; 0] 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥
- Montrer que g réalise une bijection de ]−∞; 0] sur un intervalle K que l’on précisera
- Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution 𝛼 dans ]−∞; 0]
- Vérifier que 𝛼 ∈ �−3 ; − 1�
5 2
- En déduire la position relative de 𝑪 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 Δ : y = x
6/a) 𝑓−1 (fonction réciproque de f ) est-elle dérivable a droite en (-1) ?Justifier votre réponse.
- b) Calculer 𝑓 �− 1� , 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓−1 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 (− 3 ) 𝑒𝑡 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 (𝑓−1)′(− 3 )
2 5 5
- Tracer C’ la courbe de 𝑓−1 dans le même repère (on précisant sur la demi-tangente). ( sur l’annexe à rendre)
- Expliciter 𝑓−1(𝑥) pour 𝑥 ∈ 𝐽
EXERCICE N°4 (6pts)
L’espace est muni d’un repère orthonormé �𝑜 ; 𝚤⃗ ; 𝑗⃗ ; 𝑘�⃗�.On considère les points A(1 ; -2 ; 0) ; B(2 ; 1 ;2) C(0 ; -1 ; 0 ) et I(1 ;2 ;1)
1/ a)Montrer que A , B et C déterminent un plan
- Montrer que l’équation cartésienne du plan P=(ABC) est : 𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎
- Montrer que les points A ,B,C et I ne sont pas coplanaires
- Calculer la distance d(I,P) du point I au plan
2/a) Donner un système d’équations paramétriques de la droite D perpendiculaire à P et passant par I
- Soit H le point d’intersection de P et D . Déterminer les coordonnées de H
- Retrouver alors la distance d(I,P)
1
3/a) Déterminer l’équation cartésienne du plan Q passant par E(1 ;1 ;1) et de vecteur normal �𝑛⃗ �1�
1
- Calculer la distance d(I,Q) du point I au plan Q
- Montrer que P et Q sont Et déterminer l’équation paramétrique de la droite 𝛥 = 𝑃 ∩ 𝑄
- En déduire la distance du point I à la droite Δ