Exercice n°1 🙁 4 points) La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce […]
Exercice n°1 🙁 4 points)
- La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre l , avec l >
- Déterminer l , arrondi à 10−1 près sachant que la probabilité : P(T≤ 6) = 0,7.
Pour la suite de l’exercice, on prendra l = 0,2.
- Déterminer la valeur 𝑇0 à un mois près vérifiant 𝑝(𝑇 ≥ 𝑇0) = 0,5
- Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2 près, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?
- 1) Un revendeur commande un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. a)Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins un robot ayantune durée de vie inférieure à 6 ans. b)Déterminer la probabilité qu’il y ait au plusdeux robotsayantune durée de vie inférieure à 6
- Le lot de 10 robots est réparti comme suit :8 robots de marque A et 2 de marque B mais ils sont emballés dans despaquets identiques donc on ne peut connaitre la marque que si on ouvre cet emballage.
Un client veut acheter un robot demarque A donc le revendeur va ouvrir les emballages un par un jusqu’à ce qu’il trouvelepremier robot demarque A.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre des packets ouverts jusqu’à ce qu’il apparait un robot demarque A pour la première fois .
On note Pn la probailité que le revendeur ouvre n packets pour qu’un robot demarque A apparaisse pour la première fois.
- Vérifier que 1 ≤ 𝑛 ≤ 3
8 16
- Montrer que𝑃1 = 10et que𝑃2 = 90
- Déterminer la loi de probabilité de X puis calculer son espérence.
Exercice n°2 : ( 4 points)
L’ampicilline est un antibiotique utilisé pour traiter les infections bactériennes.
Lorsqu’on l’injecte à un patient, la substance va s’infiltrer dans le réseau sanguin puis sera filtrée par les reins et le foie puis éliminée à une vitesse qui dépend de l’infection.
On injecte à un adulte malade une quantité de 500 mg et on note f(t) la quantité d’ampicilline restante dans le corps à l’instant t exprimé en heure.
On sait que f(t) est une solution de l’équation différentielle (E) : y’ = ay où a est un réel.
- a) Résoudre dans [0, +∞[ l’équation différentielle (E) en fonction de
- b) Déduire que 𝑓𝑓(𝑡) = 500𝑒𝑎𝑡
- c) Sachant que chez un adulte, 40% de l’antibiotique sera éliminé aprés une heure ,déterminer la valeur de a à 10-1 prés.
- Dans la suite on prend a = – 0,5.
- Calculer la quantité restante après 3
- Au cours de quelle heure la quatité restante est égale à 40mg ?
- Sachant que l’antibiotique perd son efficacité si la quantité est inférieure à 9 mg , après combien d’heures le malade doit prendre la deuxième dose .( temps arrondi à l’unité)
Exercice n°3 : ( 5 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct ( 0, i, j, k ) . Soit les points A(1,2,-1) ,B(1,0,1) , C(2,1,-1).
- a) Calculer
AB Ù AC et déduire que A, B et C ne sont pas alignés.
- b) Déterminer une équation cartésienne du plan P=(ABC).
- Soit S l’ensemble des points d’équation : x2 + y2 + z2 =10.
- Monter que S est une sphère dont on précisera le rayon et le centre.
- Montrer que S et P sont sécants suivant un cercle (C) dont on précisera le rayon et le centre H.
𝑥 = 1 − 2 𝖺
- Soit Q le plan médiateur du segment [AB] et soit la droite∆: �𝑦 = 1+𝖺
𝑧 = 𝖺
𝖺∈ 𝐼𝑅
- Montrer qu’une équation du plan Q est : y – z – 1 = 0
- Vérifier que ∆ = 𝑃 ∩ 𝑄𝑄.
- Déduire que pour tout point M de ∆ ona AM =BM.
- Montrer qu’il existe deux points du cercle (C) tel que AM =BM dont on déterminera leurs coordonnées.
- Déduire qu’il existe un unique point D du cercle (C) telque ABD soit équilatéral.
4) Soit le point 𝑁(𝑐𝑜𝑠𝑐𝑐 + 𝑠𝑠𝑠𝑛𝑐𝑐 , −√8 , 𝑐𝑜𝑠𝑐𝑐 − 𝑠𝑠𝑠𝑛𝑐𝑐) où 𝑐𝑐 𝜖𝜖[0, 𝜋]
|
- Vérifier que N ∈
- Montrer que le volume du tétraédre ABCN égale V = 3 [√8 + 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑐𝑐)]
- Déterminer la valeur de 𝑐𝑐 pour que le volume V soit
Exercice n°4 : ( 7 points)
1 𝑠𝑠𝑠 𝑥 ∈ ]0, +∞[
- Soit la fonction f définie sur l’ensemble]0, +∞[ par𝑓𝑓(𝑥) = �1+𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑓𝑓(0) = 1
- Monter que f est continue à droite de 0.
- Etudier la dérivabilité de f à droite de 0 et interpréter graphiquement le résultat.
|
- Calculer lim𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥)puis interpréter graphiquement le résultat. 2)a) Montrer que pour tout x∈ ]0, +∞[ : 𝑓𝑓′ (𝑥) = −1−𝑙𝑛𝑥
- b) Dresser le tableau de variation de
- Dans l’annexe ci-joint on atracé les courbes (C1) et (C2) des fonctions définies sur]0, +∞[
1
respectivement par𝑥 → 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑡 𝑥 →
𝑥
- Construire le point A de (C1) d’abscisse𝑒−1et le point B de (C2) d’abscisse1 − 𝑒−1.
- Déduire une construction du point C de la courbe (𝐶𝑓𝑓 ) d’abscisse𝑒−1.
- Soit la fonction g définie sur l’ensemble ]0, +∞[ par𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥𝑙𝑛𝑥.
- Etudier le sens de variations de
- Déduire que g(x) ≥ 0 et que pour tout x ϵ]0, +∞[ ona : 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑥 ≥ 𝑥
- Déduirequepour tout x ϵ]0, +∞[ :𝑓𝑓(𝑥)≤ 1
𝑥
puis donner la position de (𝐶𝑓𝑓 ) 𝑒𝑡 (𝐶2).
- Tracer dans l’annexe la courbe (𝐶𝑓𝑓 ).
- Soit 𝖺 un réel de [1, +∞[,on note A(𝖺) l’aire de la partie du plan limitée par (𝐶𝑓𝑓 ) , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x =𝖺
- Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [1, +∞[ 𝑜𝑛 𝑎 :
1
𝑥+𝑥𝑙𝑛𝑥
≤ 𝑓𝑓(𝑥) ≤ 1
𝑥
1
- b) Déduire que : ln(1 + 𝑙𝑛 𝖺) ≤ 𝐴(𝖺) ≤ 𝑙𝑛 𝖺. ( On remarque que : 1 = 𝑥 )
- c) Déduire lim𝖺→+∞ 𝐴(𝖺)
𝑥+𝑥𝑙𝑛𝑥
1+𝑙𝑛𝑥