Mr : Nebti Khaled Devoir de contrôle N°1 Classe :4em M1 L.S.Dar lamène Durée 2heures A.S :21/22 […]
Mr : Nebti Khaled | Devoir de contrôle N°1 | Classe :4em M1 |
L.S.Dar lamène | Durée 2heures | A.S :21/22 |
Exercice N°1 : (5 pts )
𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑅 ∗ 𝑝𝑎𝑟 : {𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑥
𝑂𝑛 𝑑é𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟 C 𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚é.
1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑒𝑛 0.
2) 𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝛥 ∶ 𝑦 = − (𝑥 + 1) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 àC 𝑎𝑢 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 (-¥)
𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −1 𝑒𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟é𝑡𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑒 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡.
𝒄. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑓(𝜋) 𝑒𝑡 lim
𝑥→+∞
𝑓𝑜𝑓(𝑥) .
3) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 2𝑓(𝑥) + 1 = 0 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 a 𝑑𝑎𝑛𝑠 ]− 𝜋 ; 𝜋[
2
4) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 ]− 𝜋
2
; 0] 𝑝𝑎𝑟 {
𝜋
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑡𝑎𝑛𝑥)
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑔(0) = 0
𝑠𝑖 − 𝜋
2
< 𝑥 < 0
𝒂. 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 ]−
2
𝜋
; 0[
( )
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝒃. 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ ]−
2
; 0[ 𝑜𝑛 𝑎 : 𝑔 𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝒄. 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑎 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 𝑒𝑛 0.
Exercice N°2 : (6 pts )
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑎 , 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑠 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑐 .
1) 𝒂. 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℂ 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ( 𝐸 ): 𝑧2 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑧 + 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 0
𝑖𝜋
𝒃. 𝑂𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑖 , 𝑏 = 𝑒 3 𝑒𝑡 𝑐 = 𝑎 − 𝑏
𝐸𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠 ∶ 𝑎 − 𝑏 𝑒𝑡 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒
2) 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑’𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚é 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑂, 𝑢⃗→, 𝑣→). 𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠
𝐴(𝑎), 𝐵(𝑏) 𝑒𝑡 𝐶(𝑐)𝑞𝑢′𝑜𝑛𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑙𝑖𝑔𝑛é𝑠
S𝑜𝑖𝑡 𝑃(𝑝)𝑒𝑡𝑄(𝑞) 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝐵𝐴 𝑒𝑡 𝑄𝐴𝐶 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑠𝑜𝑐è𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑡
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 𝑒𝑡 𝐷(𝑑)𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑒 [𝐵𝐶]
𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 2𝑝 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑖(𝑎 − 𝑏)𝑒𝑡 2𝑞 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑖(𝑐 − 𝑎)
𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑝−𝑑 = 𝑖
𝑞−𝑑
𝒄. 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑃𝐷𝑄
3) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐵 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à 𝑃 𝑒𝑡 𝐹 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐶 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à 𝑄 .
𝐸𝑡 𝐾 𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡 [𝐸𝐹]
𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙′𝑎𝑓𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑𝑢 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑡 𝐾 𝑒𝑠𝑡 𝑘 = 𝑎 +
1 𝑖(𝑐 − 𝑏)
2
𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝐾 , 𝑃 , 𝑄 𝑒𝑡 𝐷 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 à 𝑢𝑛 𝑚ê𝑚𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒
Exercice N°3 : ( 4 pts )
𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 𝑗 = − 1
2
+ 𝑖 √3
2
1) 𝒂. 𝐸𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑗 𝑒𝑡 𝑗2 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒
𝒃. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑗3 𝑒𝑡 1 + 𝑗 + 𝑗2
2) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠 𝑧 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒: |𝑧| = |𝑧 + 1| = 1
|
3) 𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝐴 , 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 𝑑′𝑓𝑓𝑖𝑥𝑒𝑠𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑠: 𝑎 ; 𝑏 𝑒𝑡 𝑐
𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙 ⟺
𝑏−𝑎
𝑐−𝑎
𝑖𝜋
= 𝑒 3 𝑜𝑢 𝑒
−𝑖𝜋 3
𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙 ⟺ 𝑎 + 𝑗𝑏 + 𝑗2𝑐 = 0
Exercice N°4 : (5 pts )
𝐿𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 𝑐𝑖 − 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 C 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 .
∗ 𝐿𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 ∆: 𝑦 = 1 − 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 à C 𝑒𝑛 𝐴 (0 ; 1)
∗ 𝑙’𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 àC .
∗ 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 C 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑙’𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠.
1) 𝑃𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑑𝑟𝑒 à 𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 :
𝒂. 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) ; 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) .
𝑥®−∞
𝑥®−∞ 𝑥
𝑥®+∞
𝒃. 𝐷𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 .
𝒄. 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑑𝑒 ℝ+ 𝑜𝑛 𝑎 : 1 − 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1.
𝟐) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑉 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℕ∗ 𝑝𝑎𝑟 : 𝑉
= ∑𝑛
1 1 1
|
= +
1
+ … … … + .
𝑛 𝑘=1
𝑛+𝑘
𝑛+1
𝑛+2
𝑛+𝑛
𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑑𝑒 ℕ∗𝑒𝑡 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 𝑜𝑛 𝑎:
1 ≤ 1
≤ 1 . 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 : 1 ≤ V ≤ n
2n n+k
n+1
2 n n+1
𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 : 𝑙𝑖𝑚 𝑉𝑛 = 0
𝑛®+∞ 𝑛
3) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑊 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℕ∗ 𝑝𝑎𝑟 : W
= 1 ∑n
g ( 1 ) = 1 [g ( 1 ) + g ( 1 ) + … … … + g( 1 )]
n n k=1
n+k
n n+1
n+2
n+n
𝒂. 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑑𝑒 ℕ∗𝑒𝑡 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 𝑜𝑛 𝑎:
1 − 1
≤ 𝑔 ( 1
) ≤ 1 . 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ 1 − 𝑉𝑛 ≤ 𝑊
≤ 1 .
𝑛+𝑘
𝑛+𝑘
𝑛 𝑛
|
𝒃. 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑚 𝑊𝑛.
𝑛 +∞