L – Mateur Devoir de synthèse n°1 Classe : 4M2 Prof : MrAmri P P 16 / 12 / 2020 […]
L – Mateur | Devoir de synthèse n°1 | Classe : 4M2 |
Prof : MrAmri
P P |
16 / 12 / 2020 | RDurée : 3 H |
N.B : Le sujet comporte (03) pages .
Il sera tenu compte de la bonne rédaction et la présentation de la copie
Exercice n°1(4points)
Soit q un réel de
é0 , p é
et (E
) l’équation
z3 – (1 – 2 sinq ) z2 + (1 – 2 sinq ) z
– 1 = 0
ëê 2 êë q
- a) Vérifier que
z0 = 1 est une solution de (Eq ) . Résoudre dans l’ équation (Eq )
- b) Donner les solutions sous forme
- Dans le plan rapporté à un repère orthonormé é (
→ →
|
O , u , v
On considère les points
A , M1
et M 2
d’affixes respectives
z0 , z1
et z1
avec
z1 = -sinq
- i cosq
- Montrer que
AM1 M 2
est un triangle isocèle.
- Déterminer q pour que
AM1 M 2
soit triangle équilatéral
- Utiliser ce qui précède pour résoudre dans l’équation
Exercice n°2(5points)
z6 – (1 –
2 ) z4 + (1 –
2 ) z2 – 1 = 0
–––→ –––→ p
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que ( AB
, AC ) º
[2p ]
3
et I
= A * C
. La bissectrice
|
|
intérieure de (–––→ –––→ ) coupe ( BC ) en J
On désigne par
t–––→ la translation de vecteur
–––→ . R la rotation de centre A et d’angle dont une mesure
|
est
æ –2p ö et D la parallèle à ( IJ )
passant par A
|
ç 3 ÷
è ø
- Montrer que( IJ ) est la médiatrice de [ AC]
- Vérifier que
|
–––→
AC
= S( IJ ) ∘ SD
- a) Définir la droite
D‘ vérifiant
R = SD ∘ SD’
|
- b) Déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie
t–––→ ∘ R
- Soit
f = g ∘ S( IJ )
où g
= ræ
–2p ö
ç J , 3 ÷
è ø
- Montrer que f fixe le point C
- Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f
- soit
h = SA ∘ S(IJ )
où SA la symétrie centrale de centre A
Montrer que h est une symétrie glissante dont on déterminera l’axe et le vecteur
- Déterminer toutesles isométries qui laissent globalement invariant le segment [ AC]
Exercice n° 3(5points)
Pour tout entier naturel n , on considère le polynôme
Pn définie sur par :
Pn ( x) =
xn + xn–1 + xn–2………………. + x2
+ x – 1
- Montrer que
” n ³ 2 ;
Pn admet une racine et une seule dans l’intervalle ]0 ,1[ , On note
an l’unique
racine de
Pn dans ]0 ,1[ , on a alors
Pn (an ) = 0
|
L’unicité de an permet de définir une suite (an )
- a) Montrer que
” x Î *
; on a Pn+1
( x) Pn ( x)
|
- En déduire que
]0 ,an [
Pn+1 (an ) 0
et que la racine an+1
de Pn+1
est nécessairement dans l’intervalle
|
- Endéduireque la suite (an ) est strictement décroissante
- a) Montrer que” Î
{ } ” ³
( ) = 1 – xn+1 –
x / 1
et n
2 ; on a Pn x
1 – x 2
- En déduire que “n ³ 2 ; 2an – (a ) – 1 = 0
n+1
|
- Montrer que
” n ³ 2
on a
0 £ (a )n £ (a )n
|
- En déduire que
lim
x®+¥
(an ) = 0
- Déduireque (an
) est convergente vers 1
2
Exercice n° 4(6points)
Soit f la fonction définie sur [1, +¥[ par :
f ( x) = x –
x2 – 1
- a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat graphiquement
- b) Dresser le tableau de variation de f
- a) Montrer que f réalise une bijection de I sur
J = ]0 ,1[ . On note g la bijection réciproque de f
- Expliciter
g( x)
pour tout x Î]0 ,1[
- Tracer les courbes z
et z ‘ respectivement de f et g dans un repère orthonormé (
→ →
|
O ,i , j
1 ìh( x) = f æ 1 ö si x Îù0 , 1 ù
- Soit la fonction h définie sur
é0 , ù par ï ç sinp x ÷ úû
2 úû
ëê 2 úû
í è ø
ïîh(0) = 0
- Montrer que h est continue sur
é0 , 1 ù
ëê 2 úû
- Vérifier que ” x Î é0 , 1 ù ; h( x) = tan æ p x ö
ëê 2 úû
ç 2 ÷
- Montrer que h réalise une bijection de
è ø
é0 , 1 ù
sur un intervalle k que l’on précisera
êë 2 úû
- Montrer que
h–1 est dérivable sur k et expliciter (h–1 )’ ( x)
|
|
- Soit (a)et (b ) les suites définies par : a = 1 1
et b = 1
n
|
|
f k avec n ³ 2
|
n n n
k =1 k
å
k =1
|
- Vérifier que
” k ³ 2
on a f (
k ) =
k – k – 1 en déduire que (bn ) est convergente et donner sa limite
- Montrer que “
k ³ 2
on a
1 £ f (
|
2 k
k ) £
2
1
k – 1
En déduire que
” n ³ 2
on a
2bn + n
£ an £ 2 bn +
|
n
- Montrer alors que (an ) estconvergente et donner sa limite
BON TRAVAIL