I-   Langage des probabilités:

• On appelle univers ( ou univers des possibles) , l’ensemble des résultats ( ou éventu- alités) possibles d’une expériences aléatoire.Cet ensemble se note W .
• Toute partie A de W est appelée événement.
• Si A =Æ,on dit que A est l’événement
• Si A =W , on dit que A est l’événement
• Si A est une partie contenant un seul élément de W , on dit que A est un événement élémentaire.

 

• L’événement A ∩ B est l’évènement ” sont réalisés simultanément .
• L’événement A ∪ B est l’évènement ” événements A et B est réalisé.

A et B ” . Il est réalisé si les deux événements A et B

 

 

A ou B ” . Il est réalisé si l’un au moins des deux

 

• L’ensemble C ^A =W\ A , qu’on note A , est l’évènement contraire de A .Il est réalisé ssi

 

A n’est pas réalisé.

• Deuxévènements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps .C-à-d ssi A ∩ B ¹Æ .

 

• Si A et B sont deux évènements de W tels que A Ì B alors éléments de B qui n’appartiennent pas à A .

Activité 1 p 309:

Soit les évènements suivants:

A :”L’élève pratique des activités sportives ou culturelles”

B \ A désigne l’ensemble des

 

 

B :”L’élève ne pratique ni des activités culturelles ni des activités sportives ”

C :”L’élève pratique des activités culturelles et non sportives ”

 

P (A ) = P (E ∪ F ) = P (E ) + P (F ) – P (E ∩ F ) = 0,35 + 0, 4 – 0,1 = 0,65

 

2/ On a : B = A

donc

P (B ) = P (A ) = 1- P (A ) = 0,35

 

3/ On a : C = E \ F donc

P (C ) = P (E \ F ) = P (E ) – P (E ∩ F ) = 0,35 – 0,1 = 0, 25

 

Définition d’une probabilité:

 

Propriétés:

Activité 3 p 311:

 

	Visiteurs Tunisiens			Visiteurs étrangers			Total
Hommes	100			250				350
Femmes	90				270			360
Enfants	220			70				290
Total		410			590			1000

 

2/ a)

P (A ) =

360

 

1000

= 0,36

; P (B ) =

590

 

1000

= 0,59 ;

P (C ) =

220

 

1000

= 0, 22

 

1. b) P (A ∩ B ) =

270

 

1000

= 0, 27

; P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B ) = 0,68

 

1. D : ” Le billet choisi est celle d’un homme Tunisien “;

P (D ) = 100 » 0, 286

350

 

II-

Probabilité uniforme : Définition:

Activité 4 p 313 :

1/ L’ensemble des tirages possibles de W est l’ensemble des applications d’un ensemble de

 

3 éléments vers un ensemble de 7 éléments , donc

33 ´ 43

card (W) = 7³ .

 

P (A ) =             =

73

 

 

C ´ 4 ´ 3

1           1           2

P (B ) =  3                             = ; ( C ¹

: choix de la place de la boule blanche tirée ).

 

73                                                     3

C 1 ´ 42  ´ 31

 

P (C ) =  3                             = ; ( C ¹

: choix de la place de la boule qui porte le numéro 1 ).

 

73                                                       3

 

Type de tirage réalisant E : (1 B₁ ;1 N ₁ ;1 N ₂ )

 

 

III-     Probabilité conditionnelle : Activité 1 p 314:

 

1/ P (A ) =

30

 

100

= 0, 3    ;

P (B ) =

60

 

100

= 0, 6    ;

P (C ) = 10 = 1

60     6

 

 

 

2/ a)

P (A ∩ B ) =

10

 

100

= 0,1

 

1. b) P (A ∩ B )= 1 = P (C )

P (B )      6

Définition:

Propriétés :

IV-     Evènements indépendants:

Définition:

 

Remarque :

Deux évènements A et B sont dits indépendants lorsque la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre.

Activité 4 p 317:

card (W) = 2ⁿ

 

 

1/ n = 2 :

card (W) = 2² = 4

 

 

 

P (M ) = 2 = 1

4     2

 

F ={(f ; g ) ; (g ;f

 

) ; (g ; g )} ; f

 

 

: fille ;

 

g : garçon ;

P (F ) = 3

4

 

M ∩ F ={(g ;f

) ; (f ; g )}

; P (M

∩ F ) = 2 = 1

4     2

 

On a : P (M ∩ F ) ¹ P (M )´P (F ) donc les deux évènements M et F ne sont pas indépendants.

 

2/ n = 3:

card (W) = 2³ = 8

 

 

 

M = {(f ;f ;f

) ; (g ; g ; g )}

;   P (M ) = 1- P M    = 1- 2 = 3

(   )

8     4

 

F = {(f ; g ; g ) ; (g ;f ; g ) ; (g ; g ;f

) ; (g ; g ; g )} ; P (F ) = 4 = 1

8     2

 

 

 

M ∩ F ={(f ; g ; g ) ; (g ;f ; g ) ; (g ; g ;f ) } ;

P (M

∩ F ) = 3

8

 

On a : P (M ∩ F ) = P (M )´P (F ) donc les deux évènements M et F      sont indépendants.

 

3/ a) n ³ 2 :

 

 

n -1

n

card (M ) = åC ^k

= åC ^k –C ⁰ –C ⁿ = 2ⁿ – 2

( avoir k filles (1£ k £ n -1) et n – k garçons)

 

 

Donc

k =1

 

P (M ) =

n                          n               n              n k =0

 

2n – 2 2n

 

 

n -1

M = ∪ M k k =1

donc card (M ) = åcard (M

k =1

n -1

) =åC 1 ´1

k    k           n –k

k                           n

k =1

 

=2ⁿ – 2

Donc

P (M ) =

2n – 2 2n

 

Ou bien:

 2      2n – 2

(    )          (   )

P M    = 1- P M    = 1-       =

 

2n                2n

ì                                                 ü

ý

ïæ                   ö                           ï

 

í

(          )

F : ïç f ;

⏟g … g   ÷ ;

g ; … g

––

ï donc

P (F ) = n +1

 

÷

ïç      (n -1) garçons

n garçons               ï                            2

 

è––––ø                   ––

ï                                                 ï

 

n

î il ya C ¹ =n possibilités

b)

il ya une seule possibilitéþ

n

2n – 2

 

 

n +1

 

 

 

n                       n

P (M ∩ F ) = P (M )´ P (F ) Û     n                                                       Û  Û n = 3

2         2           2

V   – Principe des Probabilités composées: Activité 1 p 317:

 

1/ On a :

A ∩ B Ì A Þ 0 £ P (A ∩ B ) £ P (A ) = 0 Þ P (A ∩ B ) = 0 .

 

 

2/ PA

(B ) = P (A ∩ B )

(   )

P A

d’où le résultat

 

 

 

3/   P (A ∩ B ) = P (A ) ´ P_A (B )üï Þ

P (A ) ´ P

(B ) = P (B ) ´ P

(A )

 

þ

P (A ∩ B ) = P (B ) ´ P_B

(A )^ý_ï                  A                                                      B

 

4/ P (A ∩ B ∩C ) = P ((A ∩ B )∩C ) = P (A ∩ B ) ´ P(A ∩B ) (C ) = P (A ) ´ PA (B ) ´ P(A ∩B ) (C )

 

Principe des Probabilités composées:

• – Principe des probabilités totales – Formule de Bayes:

Activité 1 p 321:

 

 

 

1. c) P (A ) =P (A ∩ B ) +P (A ∩ B ) = P (B )´ P_B (A ) + P (B )´ PB (A )

 

 

1. P

P (A ∩ B )

(   ) =                   =

B

P (B )´ P_B (A )

 

 

^A               P (A )

P (B )´ P

(A ) + P (B )´ P

(A )

 

B                                                    B

 

Principes des Probabilités totales:

Plus généralement :

 

 

n

Si ∪ Ai

i =1

= W , n Ï ^*

; Ai ∩ A j

= Æ , ” i ¹ j

et P (A_i

) ¹ 0 alors pour tout évènement B on a

 

 

 

P (B ) = å P (A_i )´ P_Ai   (B )

i =1

 

Formule de Bayes:

 

 

 

 

Exercice n°01:

🙧⁂⁂⁂🙥

 

Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires ; ces 6 boules sont indiscernables au toucher.

1/ On effectue quatre tirages successifs et sans remise d’une boule.

1. Calculer la Probabilité de tirer dans l’ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule
2. Calculer la Probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre

 

3/ On effectue n (n Î^* )tirages successifs avec remise. On appelle

Pn  la Probabilité

 

 

d’obtenir au cours de ces n tirages une blanche uniquement au dernier tirage.

 

 

1. Calculer P₁

;    P2

;    P3 et

Pn .

 

1. SoitS

n

1            2            3

= P + P

+ P ++ P

;    (n Î^* \ {1})

 

 

n ®+¥

n

Exprimer S n en fonction de n et déterminer lim Sn

 

Exercice n° 02 :

Dans un laboratoire se trouve une cage avec 100 souris présentant deux caractères :

sexe(mâle ou femelle) , couleur (blanche ou noire) ; 87 sont mâles , 57 sont blanches et 55

sont mâles et blanches.

1/ Donner l’effectif par catégorie.

2/ Un assistant prend une souris au hasard .Calculer la probabilité pour qu’il obtient une souris blanche ou une souris mâle.

3/ Il décide de choisir 6 souris. Calculer la Probabilité pour qu’il obtient 6 souris blanches si les prélèvements sont réalisés:

1. Avec remise
2. Sans remise Exercice n° 03:

Un nouveau vaccin a été testé sur 12500 personnes ; 75 d’entre elles , dont 35 femmes enceintes , ont eu des réactions secondaires nécessaires nécessitant une hospitalisation. 1/ Sachant que ce vaccin a été administré à 680 femmes enceintes , qu’elle est

la Probabilité qu’une femme enceinte ait eu une réaction secondaire si elle reçoit le vaccin ?

2/ Quelle est la Probabilité qu’une personne non enceinte ait une réaction secondaire ?

 

Exercice n°04 :

Une boite de médicament Une boite de médicament Une boite de médicament

B₁ contient 10 comprimés jaunes.

B ₂ contient 4 comprimés jaunes et 1 rouge.

B 3 contient 5 comprimés jaunes et 5 rouges.

 

1/ On prend une boite au hasard et de cette boite , on tire un comprimé au hasard . On suppose que le comprimé tiré est rouge.

 

1. Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
2. Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
3. Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite

B1 .

B 2 .

B 3 .

 

 

 

2/ On réunit les 25 comprimés des boites comprimé obtenu est rouge.

B1 ; B 2

et B ₃ . on tire au hasard un comprimé et le

 

1. Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
2. Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite
3. Calculer la Probabilité pour que le comprimé ainsi tiré provienne de la boite Exercice n°05:

B1 .

B 2 .

B 3 .

 

Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher.

1/ On tire simultanément deux boules de l’urne ; déterminer :

 

 

1. La Probabilité
2. La Probabilité
3. La Probabilité

P₁ de tirer 2 boules rouges.

P₂ de tirer 2 boules blanches.

P₃ de tirer 2 boules de couleurs différentes.

 

 

2/ On tire une boule , on note sa couleur , on la remet dans l’urne et on tire une deuxième boule , déterminer :

 

1. La Probabilité
2. La Probabilité
3. La Probabilité

P ¢ de tirer 2 boules rouges.

1

2

P ¢ de tirer 2 boules blanches.

3

P ¢ de tirer 2 boules de couleurs différentes.

 

 

 

 

Année Scolaire 2007/2008                                                  9                                 Prof : Faleh Abdessattar

 

Exercice n°06:

On tire au hasard , successivement et sans remise , 4 lettres du mot ” ABDESSATTAR” . On considère le mot formé par les lettres dans l’ordre où elles apparaissent.

Quelle est la Probabilité d’obtenir le mot ” STAR” ?. Exercice n°07:

On considère un espace probabilisé et deux évènements A et B .

 

Calculer

P (A ∪ B ) et

PA (B ) sachant que

P (A ) = 0,5   ;

P (B ) = 0, 4 et P

(B ) = 0,6 .

 

 

A

Exercice n°08:

 

 

Soit

A1 et

A₂ deux ensembles de boules. On suppose que

A₁ contient 70 % de boules blanches

 

 

 

et que

A₂ en contient 80 % , on suppose en outre que

A₁ contient trois fois plus de boules

 

 

 

que

A₂ . On place toutes les boules de

A1 et

A₂ dans une même urne. On en tire un au hasard

 

 

 

, on constate qu’elle est blanche .

Quelle est la probabilité pour que cette boule provienne de Exercice n°09:

A1 .

 

Mr Chokri arrive à un carrefour . Il sait qu’à cet endroit il va trouver deux routes, une

seule de ces routes qui amène à Hajeb Laayoun. Il y a trois frères à ce carrefour.

 

F₁ dit la vérité 2 fois sur 10 . F₂ dit la vérité 5 fois sur 10 . F3 dit la vérité 9 fois sur 10 .

Il n’y a pas d’autre personne à ce carrefour ; Mr Chokri s’adresse au hasard à un ,et à un

seul des trois frères. Il demande son chemin, et s’aperçoit par la suite que ce chemin est le bon .

Quelle est la Probabilité qu’il se soit adressé à   F₁ ?

 

Exercice n°10:

Quand il pleut la Probabilité qu’il pleuve le lendemain est 0,8 , elle est seulement de 0,3 s’il fait beau. Aujourd’hui il fait beau . Quelle est la Probabilité qu’il fasse beau dans 10 jours ?

Exercice n°11:

Quelle est la Probabilité pour un point pris au hasard à l’intérieur d’une sphère de rayon

R d’être plus prés du centre que de la surface de la sphère ? Exercice n°12:

Une urne contient r boules rouges et n boules noires. Une boule est choisie au hasard on note sa couleur, et on la remet avec d boules supplémentaires de la même couleur. Puis on recommence la même procédure aussi souvent que nécessaire. Trouver

la probabilité pour que :

1. La seconde boule tirée soit

La première boule est noire, sachant que la sec