Une urne contient des boules blanches et des boules noires .La – probabilité de tirer une boule blanche au hasard est égale à p ;

q = 1 – p est la probabilité de tirer une boule noire On tire n boules au

 

hasard et avec remise ; on étudie la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de boule blanche tirées.

La variable aléatoire X peut prendre des valeurs entières comprise entre 0et n .Déterminons la probabilité pour que X soit égale à

k .L’univers W est constitué des suites des résultats des n tirages; la

probabilité d’une suite correspondant au tirage de k boules blanches et

 

 

(n – k )boules noires est égale à

p ^k q ^n–k , car les tirages sont

 

n

indépendants ( il y a remise de la boule tirée après chaque tirage). Le nombre de suites incompatibles correspondant au tirage de k boules blanches est égale au nombre de façons de placer k boules parmi n : il y en a C ^k est la probabilité cherchée est donc :

 

Formule des probabilités totales :

 

Si A1 , A2 ,…, An sont des évènements non vides deux à deux

 

 

 

 

Représentation à l’aide d’un arbre pondéré:

 

1

B                          P (A1 ∩ B ) = P (A1 ) ´ PA    (B )

 

 

A 1

B

P

2

A   (B )    B

 

P (A 2 ∩ B ) = P (A 2 ) ´ PA

+

2

(B )

 

= P (B )

 

 

A 2                                                                                                                                                                                                  +

 

P    (B ) B

B

P (A

∩ B ) = P (A

) ´ P

(B )

 

3                                          3                A 3

 

A 3

B

 

Règle de construction et d’utilisation des arbres pondérés:

 

 

• Sur les premiers branches , on inscrit les

P (Ai  ).

 

 

 

• Sur les branches du type Ai

® B on inscrit

P   (B ) .

 

A

i

• Le produit des probabilités inscrites sur chaque branche d’un chemin donne la probabilité de l’intersection des évènements placés sur ce

• La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1 ( Loi des nœuds ).

 

 

 

 

Exemple : un sac contient des jetions de trois couleurs , la moitié de blancs , le tiers de verts et le sixième de jaunes 50% des jetons blancs , 30% des jetons verts et 40% des jetons jaunes sont ronds . Tous les- autres jetons sont carrés. On tire au hasard un jeton.

1/ Construire un arbre pondéré ( arbre de choix).

2/ Sachant que le jeton tiré est blanc , quelle est la probabilité pour qu’il soit carré ?

3/ Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré soit rond ?

4/ Sachant qu’il est rond , quelle est la probabilité pour qu’il soit blanc Solution :

1/

 

 

 

1                B

2

1

3                V

 

1

6                J

0, 6

rond

 

carré rond

 

 

carré rond

 

 

carré

 

 

 

 

 

 

 

2/ La lecture directe de l’arbre nous donne

PB (C ) = 0,5

 

3/ P (R ) = 1 ´ 0,5 + 1 ´ 0,3 + 1 ´ 0, 4 = 5

2              3              6              12

 

P (B ∩ R )

1 ´ 0,5

 

4/ P

(B ) =                     = 2         = 3

 

 

 

🙧🙧🙧⁂⁂⁂🙥🙥🙥

 

Exercice n°01:

Cocher la réponse juste:

1/ A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :

 

P (A ∩ B ) = 1

6

et PA

(B ) = 1

4

 

ì 2

ï 3

ï 1

ï     

í 3

P (A ) = ï 24

ï   

ï 2

1

ï

ï

î12

2/ On donne l’arbre pondéré ci-contre où R et G sont deux événements

 

d’un espace probabilisé avec

G

P (G ) = 3

5

 

R

1/ 2     G

 

        p      G

R              

q      G

 

 

Exercice n°02:

 

 

On choisit, au hasard , un élève dans la classe.Soit les deux évènements suivants:

A :” l’élève choisi est un garçon”

B :” l’élève choisi est un fumeur ”

1/ Calculer P (A )   ;    P (B ) et P (A ∩ B ).

2/ Calculer la probabilité que l’élève choisi soit un garçon ou un fumeur.

3/ Calculer la probabilité que l’élève choisi soit un garçon qui fume ou une fille qui ne fume pas.

 

Exercice n°03:

Une urne contient 3boules rouges et 5 boules blanches . On tire au hasard et simultanément 2boules de l’urne.

1/ On appelle X la variable aléatoire réelle qui , à chaque tirage de deux boules , associe le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de X .

2/ On appelle Y la variable aléatoire réelle qui , à chaque tirage de deux boules, associe le nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de Y .

3/ Soit Z   la variable aléatoire réelle définie par Z = X +Y

Déterminer la loi de probabilité de Z .

 

Exercice n°04:

Les questions 1/ et 2/ sont indépendantes.

 

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

 

Une urne U₁

contient 4jetons blancs et 3noirs et une urne U ₂

contient

 

17 jetons blancs et 18noirs.

1/ On jette un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d’apparaître. Si le- 6 apparaît , on tire un jeton de l’urne U₁ ,si non on tire un jeton de l’urne U 2 .

 

Année Scolaire 2007/2008                              5               Prof : Faleh Abdessattar

 

 

1. Déterminer la probabilité de tirer un jeton blanc ( on considérera les événements :

A :” on a obtenu 6 en jetant le dé ”

B :” on obtient un jeton blanc ”

1. On a tiré un jeton blanc ; calculer la probabilité pour qu’il provienne de U1 .
2. On a tiré un jeton noir ; calculer la probabilité pour qu’il provienne

de U 2 .

2/ On tire successivement et sans remise les 7 jetons de l’urne U1 .

Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur k si le premier jeton

blanc apparaît au k ^ième tirage.

Donner la loi de probabilité de X , puis calculer son espérance mathématique et son écart-type.

 

Exercice n°05:

Une urne contient 3boules rouges , 3boules bleues et 4boules blanches indiscernables au toucher. On tire au hasard 3boules ; les boules

n’étant pas remises dans l’urne. Pour i Î{1, 2,3}on considère

l’événement Ti : ” le i       tirage est tricolore ” . On désigne d’autre part

ième

 

par R l’événement : ” la boule qui reste dans l’urne après les trois

 

tirages est blanches ” . On admettra que

P (R ) = 2

5

 

T

1

1/a)  Calculer P (T1 ) , puis P  (T 2 )

1. b) En déduire P (T1∩T2 )

2/ Calculer de même P (T1  ∩T2  ∩T3 )

3/ Calculer PR  (T1  ∩T2  ∩T3 ) .

 

 

 

 

On jette deux dès cubiques discernables et non pipés

D1 et

D2 . Chacun

 

de ces deux dès porte sur ses faces les points de 1à 6 . Soit n1 le point

 

apparu sur

D1 et

n₂ le point apparu sur

D2 .

 

Soit X la variable aléatoire qui associe à tout jet de D₁ et D₂ le réel

n1 – n2 .

1/ Déterminer la loi de probabilité de X .

2/ Déterminer la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement.

 

Exercice n°07:

On dispose de deux urnes U₁ et U ₂ contenant des boules indiscernable au toucher .

U contient n (n Î^* )boules blanches et 3boules noires ; U contient

 

1

2boules blanches et une boules noires.

On tire une boule au hasard de U₁ et on la met dans U ₂

2

 

 

, puis on tire

 

une boule au hasard de U ₂ et on la met dans U₁ ; l’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

1/ Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire. 2/ On considère l’évènement A :” après l’épreuve , les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ”.

 

1. Montrer que

P (A ) = 3 æ n + 2 ö

4 ç n +                ÷3

(   )

è          ø

 

1. Calculer

lim P  A

n®+¥

 

3/ On considère l’événement B :” après l’épreuve l’urne U ₂ contient une seule boule blanche”

Calculer P (B ).

4/ Un joueur mise 5 dinarset effectue une épreuve.

A l’issue de cette épreuve , on compte les boules blanches dans U ₂ .

 

 

 

Année Scolaire 2007/2008                              7               Prof : Faleh Abdessattar

 

 

 

 

 

2

 

contient 2boules blanches, le joueur reçoit n

4

boules blanches , le joueur ne reçoit rien.

2                       2

dinars ; si U ₂ contient 3

 

1. Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant que n ne dépasse pas 10 .

Dans la suite , on considère n > 10, et on introduit la variable aléatoire

X qui prend pour valeur les gains algébriques du joueur.On rappelle que le gain algébrique prend en compte la somme reçue, ainsi que la mise initiale.

1. Déterminer la loi de probabilité de X .
2. Calculer l’espérance mathématique de X .
3. Pourquelles valeurs de n le jeu est-il favorable au joueur ?

 

Exercice n°08:

1

-I-

C

2n

Pour tout entier naturel non nul n , on pose : u_n = 4n         n

.

1/ Donner u1 , u2 et u 3 sous forme de fraction irréductibles.

 

2/ Montrer que , pour tout

n Î^*

on a : u

n +1 =

2n +1 u

2n + 2   ⁿ

 

nÎ

3/ Etudier la monotonie de la suite (un  )    *

et en déduire sa

 

convergence.

4/ Montrer par récurrence que pour tout

n Î^* , on a :

 

un £

 

n ®+¥

5/ Préciser lim un .

 

 

soit n un entier naturel non nul . On lance 2n fois une pièce de monnaie équilibrée.On désigne par X la variable aléatoire qui compte le nombre de ” Piles ” obtenus au cours de ces 2n lancers.

1/ Quelle est la loi de probabilité de X .

Exprimer son espérance mathématique et sa variance en fonction de n

2/ On note p_n la probabilité d’obtenir exactement n ” Piles ” en lançant

la pièce 2n fois.

1. Exprimer p_nen fonction de n .

n ®+¥

• En utilisant 5/-I- , déterminer lim pn.

3/ Déterminer la probabilité qu’a l’issue de ces 2n lancers , le nombre de ” Pile ” soit strictement supérieur au nombre de ” Faces “.

 

 

Exercice n°09:

On considère la suite (v

 

 

 

 

n )

nÎ

 

-I-

vérifiant pour tout entier

 

n Î^* :

 

v    = 1 v

n         2

n +1

• 1v

2

n -1

 

Montrer que (v n )

nÎ

est une suite arithmétique.

-II-

 

Soit p un entier naturel fixé supérieur à 2et n un entier tel que

 

0 £ n

£ p . Une particule est placée sur un axe gradué , initialement au

 

point I d’abscisse n .

 

• A (arret)

• I (départ)

B (arret)

 

0                                                            n                                p·

On lance autant de fois que nécessaire une pièce de monnaie équilibrée. A chaque obtention de face, la particule avance d’une unité vers la – droite . A chaque obtention de pile , la particule recule d’une unité vers

 

 

Année Scolaire 2007/2008                              9               Prof : Faleh Abdessattar

 

 

la gauche. Le jeu s’arrête dès que la particule atteint le point A d’abscisse 0 ou le point B d’abscisse p . On note v n la probabilité pour que le jeu s’arrête en A .

1/ Que valent v ₀ et v p ?

2/ On note F l’événement ” obtenir face au premier lancer de la pièce ”

et An l’événement : ” le jeu s’arrête en A ” .

Montrer que pour tout entier n tel que 1 £ n £ p -1, on a :

 

v    = 1 v

n         2

n +1

• 1v

2

n -1

 

3/ En déduire v _n en fonction de n et p .

4/ Quelle est la probabilité pour que le jeu ne s’arrête jamais ?

 

Exercice n°10:

Soit X la variable aléatoire indiquant la ” durée de vie ” d’un modèle de voiture ( en années ) ; Imaginons que la densité de probabilité de X est

 

donnée par la fonction f

ì0, 2 e – 0,2 x

(  )

x    = í

si x ³ 0

 

î     0            si x < 0

1/ Vérifier que cette fonction est bien une densité de probabilité.

2/ Calculer la probabilité que la voiture ait une durée de vie:

1. Comprise entre 2et 6
2. Inférieur à 2
3. Supérieur à 10

3/ En moyenne , quelle est la durée de vie de ce modèle de voiture ?

 

Exercice n°11:

On suppose que la durée de vie d’un individu est une variable aléatoire

 

T de densité

ìïl t ² (100-t )2

g (t ) =

í

si t Î[0,100]

 

 

 

3/ Quelle est la probabilité pour qu’un individu ait une durée de vie entre 50 et 80 ans .

 

Exercice n°12:

Soit X une variable aléatoire de densité f définie par :

 

ì

f (t ) = í

a t ²   si

t Î[1, 2[

 

î     0      si     non

1/ Déterminer a .

2/ Expliciter la fonction de répartition de X .

 

3/ Calculer

E (X

) et V

(X ).

 

4/ Expliciter la densité de la variable aléatoire Y

 

Exercice n°13:

Exercice n°22 page 364 ( Manuel Scolaire )

= 1 (X

2

-1).