L.S MATEUR A . S 2015-2016 MR : AMRI Devoir de contrôle N°1 Classe : 4Tech 2 Durée : […]
L.S MATEUR
A . S 2015-2016 |
MR : AMRI
Devoir de contrôle N°1 |
Classe : 4Tech 2 | Durée : 2h Le 11-11-2015 |
EXERCICE 1 : (8 points)
Le plan complexe P étant muni d’un repère orthonormé direct (O , 𝑢⃗→ ,𝑣→). On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 1−2i.
À tout nombre complexe z≠1 on associe : z’= 𝑧−1+2𝑖
𝑧−1
- Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que : z’ soit réel.
- a) Montrer que pour tout nombre complexe z≠1, on a : (z’−1)(z−1)=2i
- En déduire que pour tout point M distinct de A, on a : AM×AM’=2
- Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre A et passant par O, alors M’ appartient à un cercle (C’) que l’on précisera.
- a) Montrer que pour tout point M distinct de A, on a :
(𝑢⃗→,𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗→) + (𝑢⃗→,𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗→’) = 𝜋 +2k𝜋
2
- En déduire que si M appartient à la perpendiculaire à (O,𝑢⃗→) passant par A, alors M’ appartient à une droite que l’on précisera.
4) On pose z=2𝑒𝑖2𝜃 +1 ; θ∈[−𝜋,𝜋]
- Montrer que z’=2cos(𝜃 –𝜋)𝑒𝑖(𝜋−𝜃)
- En déduire les valeurs de θ pour lesquelles le point M’ appartient à l’axe des abscisses .
EXERCICE2 : (6points)
ìx2 – 2 + x2 sin( p )six £ -1
Soit f la fonction définie par f(x) = ïï-3 +ïîx +1x2six
- a) Montrer que f est continue en -1
- b) Démontrer que f est continue sur IR
- a) Montrer que
lim x2 sin( p )= 𝜋x®-¥ x2
- b) En déduire lim f (x)x®-¥
- a) Montrer que f(x) = 0 admet au moins une solution 𝛼 dans [-2, -1]
- b) Montrer que sin( 𝜋 )= 2 − 1
EXERCICE3 :(6points)𝛼2𝛼2
Le tableau ci-dessous représente les variations d’une fonction définie et continue sur IR∖ {0}
x | -∞ | -3 | 0 | 2 | +∞ | ||||
f(x) | 2 |
-3 |
+∞ | +∞ |
-3 |
+∞ | |||
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O , 𝑖→,𝑗→) on suppose que
∆ :y=x+1 est une asymptote oblique à Cf au voisinage de +∞ et (T) ; y=2x est la tangente à Cf au point A(1,-2)
- Déterminer en justifiant :
limf (x) ;lim 2; lim f (x) + 2; limf ( f (x) – x)
x®-¥x®-¥ 2 – f (x)x®1 x -1x®+¥
- Soit g la fonction définie par g(x) = f(3+f(x))
- Déterminer l’ensemble de définition de g
- Calculer lim g(x)x®2
- La fonction g est-elle prolongeable par continuité en 21+ cos x
- Calculer
limx®+¥f ( ) 1+ x
BON TRAVAIL