Devoir de Contrôle 1 Math 3ème Mathématiques

Exercice 1 :(6points)

ì x ² + 2x +1

Soit la fonction f définie par : fïï(x ) = ïx +1

• 1 si

si x Î]-¥; -1[

x Î[-1; 0[

í

ï           

ï 1+ x -1 si

x Î]0; +¥[

• Déterminer le domaine de définition de f
• Etudier la continuité de f en (-1).

• a/ Calculer lim fx ®0⁺(x ) et lim fx ®0^–(x )

b/ f est-elle continue en 0 ?

c/ f est-elle prolongeable par continuité en 0 ? si oui donner ce prolongement.

• Montrer que f est minorée par 0 et majorée par 1 2sur ]0; +¥[ .

• Montrer que f est décroissante sur ]0; +¥[ì x ³ + x

• Soit g la fonction définie sur IR par :

1. Montrer que g est continue en 0.

ï     2x g (x ) = ï 1      si

ïïf (x )ïî

si x Î]-¥; 0[

x = 0 si x Î]0;+¥[

1. Montrer que l’équation

Exercice 2 :(4points)

g (x ) = 1 x admet dans ]1; 2[ une unique solution a4

Dans la figure 1 en Annexe on a la representation graphique C_f d’une fonction définie sur [-1,5] .

• Calculer graphiquement : f(-1) et f(5)

• Préciser les intervalles ou f est continue

• Calculergraphiquement : f (2) et lim fx ®2⁺(x ) et  lim fx ®2^–(x )

4) Déterminer f ([-1, 2[)et f ([0, 2]).

• Discuter suivant le paramétre m le nombre des solutions de l’équation f(x ) = m .

• Préciser les intervalles ou la fonction h = f
• Déterminer graphiquement h ([0;3])

est continue et tracer sa courbe.

Exercice3 :(4points)

ABCD est un carré direct tel que AB = a

et E un point du segment[AB ]tel que ADE = p6

et AEG un triangle rectangle isocèle en A (Voir figue 2 annexe)

• Calculer DA.DE .
• Déduire le calcul de DE et monter que AE = a
• Montrer que (DE )^ (BG )
• Soit O le milieu de [AC ].

1. Montrer que pour tout point M du plan on a : MA

• MC= 2MO   + 2

1. Déterminer alors et construire l’ensemble des points M du plan tel que :

MA ² + MC ² = 9a²

• On considère le repère orthogonal direct (A , AG , AE )
  1. Déterminer les composantes des vecteurs BG et DE puis déduire que (DE ) ^ (BG )

Exercice 4 :(3points)

La figure 3 en annexe représente un cercle trigonométrique de centre A ;ABC et ADE sont deux triangles équilatéraux et ACD rectangle en A.

• Déterminer la mesure principale de chacun des angles : (AB , AE ) ; (AB , EB ) ;(DE , BC )

• Montrer que : DC et EB sont colinéaires.
• Montrer que : EA etCB sont 6

• Montrer que : (AC , ED )º –119p [2p ]

Annexe à rendre avec la copie

Nom et prénom :…………………………….. numéro :…….

QCM :(3points)

Pour chacune des questions suivantes une seule de trois réponses proposées est exacte. Entourer la réponse exacte

• ABC est un triangle tel que :AB=2 , AC=3 et AB .AC = 4 alors ABC est rectangle en
  1. A b) B                                                   c) C
• Soient A et B deux points du plan l’ensemble{M Î P tel que MA × AB = 1}est
  1. une droite b) un cercle                     c) un segment

• MNP un triangle et I le milieu de [MN] tel que PI

= MN

= 4 alors : PM × PN =

1. a) 12 b) 0 c) 8

• L’ensemble de définition de la fonction f : x

1

E (x ) – 2012

est :

1. IR ^*

1. b)IR\{2012}

1. c) ]-¥, 2012[È[2013, +¥[