Devoir de Contrôle 1 Math 3ème Sciences exp

Exercice 1(3,5 pts)

Dans la feuille à rendre on a représenté une fonction f dans un repère orthonormé 1)f est-elle continue en 1 ? Justifier votre réponse

• Déterminer graphiquement les images des intervalles suivants par f :

[−2; 0] 𝑒𝑡 [−1; 2]

• a)Tracer la courbe de la fonction h = |𝑓| dans le même repère b)h est-elle continue en 1 ?justifier la réponse.
• Déterminer graphiquement les solutions de l’équation f(x)=1

• Résoudre graphiquement f(x)≥ 1. 6)Déterminer le minimum de f sur IR Exercice 2(6,5 pts)
• Soit f la fonction définie sur IR par f(x)= 𝑥⁶ + 3𝑥² − 3
  • Etudier la parité de f

• Montrer que f est continue sur IR

• a)Montrer que f est strictement croissante sur [0; +∞[

b)Déterminer alors les variations de f sur IR. c)En déduire le minimum de f sur IR

• a)Déterminer l’image de l’intervalle [0,1] par f. b)En déduire l’image de l’intervalle [−1; 1] par f

𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞, 0]

• Soit g la fonction définie sur IR par : g(x)={ √𝑥 + 4 − 5 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0; 5]

𝑥2−12𝑥+35

𝑥−5

𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]5; +∞[

• Montrer que g est continue sur les intervalles suivants ]−∞, 0] , ]0; 5] et]5; +∞[ . 2)Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution 𝛼 dans l’intervalle[−1; 0] 3)Donner un encadrement d’amplitude 10⁻¹de 𝛼.

3

4)Vérifier que 𝛼4+3

Exercice 3(5pts)

= 𝛼².

Soit ABCD un rectangle te que AB = 8 et BC = 4 . On note E le point de [CD]

tel que ⃗𝐶⃗⃗⃗𝐸⃗→ =

1 ⃗𝐶⃗⃗⃗𝐷⃗→. Les droites (AC) et (BE ) se coupent en I et les

4

droites (AD) et (BE) se coupent en F 1)a)Calculer 𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗→. 𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗→ 𝑒𝑡 ⃗𝐶⃗⃗⃗𝐴⃗→. ⃗𝐶⃗⃗⃗𝐸⃗→.

b)En déduire que (EB)⊥ (AC). 2)Calculer 𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗→. ⃗𝐴⃗⃗⃗𝐹⃗→.

• On note (𝜁) l’ensemble des points M du plan tels que

𝑀𝐷² + 3𝑀𝐶² = 192

• Vérifier que D est un point de (𝜁).

b)Vérifier que ⃗𝐸⃗⃗⃗𝐷⃗→ + 3⃗𝐸⃗⃗⃗𝐶⃗→ = ⃗0→

• Montrer que pour tout point M du plan on a : 𝑀𝐷² + 3𝑀𝐶² = 4𝑀𝐸² + 48
• En déduire alors (𝜁)

Exercice 4(5pts)

Le plan est orienté dans le sens direct . On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en

A tel que (⃗𝐴⃗⃗⃗𝐵⃗→𝖠⃗𝐴⃗⃗⃗𝐶⃗→) ≡ 𝜋 [2𝜋]  . Γ le cercle de centre A passant par B .

,                            2

1)On considère le point D de Γ tel que (⃗𝐴⃗⃗⃗𝐵⃗→𝖠𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗→) ≡ 16𝜋 [2𝜋]

,                                3

• Déterminer la mesure principale de l’angle orienté (⃗𝐴⃗⃗⃗𝐵⃗→, 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗→) et construire D
• Déterminer la mesure principale de l’angle orienté(𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗→, ⃗𝐵⃗⃗⃗𝐴⃗→)

2)a)Construire le point E de la médiatrice de [AB] tel que (𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗→𝖠⃗𝐵⃗⃗⃗𝐸⃗→) ≡ −𝜋 [2𝜋]

,                               2

• Déterminer la mesure principale de l’angle orienté (⃗𝐵⃗⃗⃗𝐴⃗→, ⃗𝐵⃗⃗⃗𝐸⃗→) . En déduire la nature du triangle
• Montrer que les points A ,D et E sont alignés .En déduire que [DE]est un diamètre de Γ.
•