Exercice N°1 : (5 pts )

𝑓(𝑥) = √𝑥² + 1 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑅 ∗ 𝑝𝑎𝑟 : {𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0

𝑥

𝑂𝑛 𝑑é𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟 C 𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚é.

1) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑒𝑛 0.

2) 𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝛥 ∶ 𝑦 = − (𝑥 + 1) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 àC 𝑎𝑢 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 (-¥)

𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = −1 𝑒𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟é𝑡𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑒 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡.

𝒄. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑓(𝜋) 𝑒𝑡 lim

𝑥→+∞

𝑓𝑜𝑓(𝑥) .

3) 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 2𝑓(𝑥) + 1 = 0 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 a 𝑑𝑎𝑛𝑠 ]− 𝜋 ; 𝜋[

2

4) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 ]− 𝜋

2

; 0] 𝑝𝑎𝑟 {

𝜋

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑡𝑎𝑛𝑥)

𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑔(0) = 0

𝑠𝑖 − 𝜋

2

< 𝑥 < 0

𝒂. 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟    ]−

2

𝜋

; 0[

( )

1−𝑐𝑜𝑠𝑥

𝒃. 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ ]−

2

; 0[ 𝑜𝑛 𝑎 : 𝑔 𝑥 =

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝒄. 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑎 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 𝑒𝑛 0.

Exercice N°2 : (6 pts )

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑎 , 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑠 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑐 .

1) 𝒂. 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℂ 𝑙^′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ( 𝐸 ): 𝑧² − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑧 + 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 0

𝑖𝜋

𝒃. 𝑂𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑖 , 𝑏 = 𝑒 3 𝑒𝑡 𝑐 = 𝑎 − 𝑏

𝐸𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠 ∶ 𝑎 − 𝑏 𝑒𝑡 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒

2) 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑’𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚é 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑂, 𝑢⃗→, 𝑣→). 𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠

𝐴(𝑎), 𝐵(𝑏) 𝑒𝑡 𝐶(𝑐)𝑞𝑢^′𝑜𝑛𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑙𝑖𝑔𝑛é𝑠

S𝑜𝑖𝑡 𝑃(𝑝)𝑒𝑡𝑄(𝑞) 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝐵𝐴 𝑒𝑡 𝑄𝐴𝐶 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑠𝑜𝑐è𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑡

𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 𝑒𝑡 𝐷(𝑑)𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑒 [𝐵𝐶]

𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 2𝑝 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑖(𝑎 − 𝑏)𝑒𝑡 2𝑞 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑖(𝑐 − 𝑎)

𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑝−𝑑 = 𝑖

𝑞−𝑑

𝒄. 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑃𝐷𝑄

3) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐵 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à 𝑃 𝑒𝑡 𝐹 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐶 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à 𝑄 .

𝐸𝑡 𝐾 𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡 [𝐸𝐹]

𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙^′𝑎𝑓𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑𝑢 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑡 𝐾 𝑒𝑠𝑡 𝑘 = 𝑎 +

¹ 𝑖(𝑐 − 𝑏)

2

𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝐾 , 𝑃 , 𝑄 𝑒𝑡 𝐷 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 à 𝑢𝑛 𝑚ê𝑚𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒

Exercice N°3 : ( 4 pts )

𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 𝑗 = − 1

2

+ 𝑖 ^√3

2

1) 𝒂. 𝐸𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑗 𝑒𝑡 𝑗² 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒

𝒃. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑗³ 𝑒𝑡 1 + 𝑗 + 𝑗²

2) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠 𝑧 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒: |𝑧| = |𝑧 + 1| = 1

3) 𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝐴 , 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 𝑑^′𝑓𝑓𝑖𝑥𝑒𝑠𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑠: 𝑎 ; 𝑏 𝑒𝑡 𝑐

𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙 ⟺

𝑏−𝑎

𝑐−𝑎

𝑖𝜋

= 𝑒 3 𝑜𝑢 𝑒

−𝑖𝜋 3

𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙 ⟺ 𝑎 + 𝑗𝑏 + 𝑗²𝑐 = 0

Exercice N°4 : (5 pts )

𝐿𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 𝑐𝑖 − 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 C 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟    .

∗ 𝐿𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 ∆: 𝑦 = 1 − 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 à C 𝑒𝑛 𝐴 (0 ; 1)

∗ 𝑙’𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 àC .

∗ 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 C 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑙’𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠.

1) 𝑃𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑑𝑟𝑒 à 𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 :

𝒂. 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟:    𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) ;    𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) 𝑒𝑡     𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) .

𝑥®−∞

𝑥®−∞    𝑥

𝑥®+∞

𝒃. 𝐷𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒    .

𝒄. 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡    𝑑𝑒 ℝ₊ 𝑜𝑛 𝑎 : 1 − 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1.

𝟐) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑉 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℕ^∗ 𝑝𝑎𝑟 : 𝑉

= ∑𝑛

   1                  1              1

=        +

1

+ … … … +        .

𝑛               𝑘=1

𝑛+𝑘

𝑛+1

𝑛+2

𝑛+𝑛

𝒂. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡    𝑑𝑒 ℕ^∗𝑒𝑡 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 𝑜𝑛 𝑎:

1    ≤    1

≤    1   .  𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 : 1 ≤ V   ≤   n

2n               n+k

n+1

2                 n           n+1

𝒃. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 :    𝑙𝑖𝑚 𝑉𝑛 = 0

𝑛®+∞ 𝑛

3) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑊 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℕ^∗ 𝑝𝑎𝑟 : W

= 1 ∑ⁿ

g ( 1 ) = 1 [g ( 1   ) + g ( 1   ) + … … … + g( 1   )]

n         n     k=1

n+k

n           n+1

n+2

n+n

𝒂. 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡    𝑑𝑒 ℕ^∗𝑒𝑡 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 𝑜𝑛 𝑎:

1 −   1

≤ 𝑔 ( 1

) ≤ 1 . 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶   1 − 𝑉𝑛 ≤ 𝑊

≤ 1 .

𝑛+𝑘

𝑛+𝑘

𝑛                    𝑛

𝒃. 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒    𝑙𝑖𝑚 𝑊_𝑛.

𝑛   +∞