Exercice (1) : (7.5pts)

Soit dans C l’équation :

(E) : z ² – (a – ia)z – i a 2  = 0

où a est un nombre complexe tel que

a = re^iq , r  0 et q Î]- p ,p [.

A- 1) a/ Résoudre dans C l’équation (E ) dans le cas où a =1 + i .

b/ On suppose dans cette question que

a = ia ,montrer que l’équation (E ) est équivalente à

z ² – (2a)z + a²

= 0 .En déduire que

(E ) admet une unique solution que l’on déterminera.

c/ Montrer que le nombre complexe z₀ = a + i n’est pas une solution de (E )

On suppose dans la suite de l’exercice que a ¹ ia

• a/ Montrer que le discriminant de l’équation (E ) est D = (a + ia) ²

b/ Résoudre dans C l’équation

(E ) en donnant les solution sous la forme exponentielle

• Soit dans C l’équation (E‘) : z ³ + ia.z ² – a ² z – ia a 2 = 0

a/ Montrer que (-a) est une solution de (E‘) .

b/ Montrer que l’équation (E‘) est équivalente à (z + a)(z ² – (a – ia)z – i a 2 )= 0

c/ Résoudre dans C l’équation (E ‘ )

B- On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct R (o,u, v) les

points A(a) , B(-ia) et C(a – ia) .

• a/ Montrer que OA = OB et que (OB,OA) º 2q + p [2p ]

2

b/ Déterminer les valeurs de q pour les quelles les points O,A et B sont alignés.

• On suppose que les points O,A et B ne sont pas alignés.

a/ Montrer que le quadrilatère OACB est un losange et que son aire est

S = a ² cos(2q )

b/ Déterminer les valeurs de q  pour les quelles que le quadrilatère OACB est un carrée.

p

c/ Construire le quadrilatère OACB dans le cas où

a = 2e ³

Exercice (2) : (6 pts)

On considère la fonction f définie par :

ì

ï

f (x) = í

x sin(

+ 2x…. si.x £ 0

p

)

ï             x……. si..x  0

ïî

• a/ Déterminer l’ensemble de définition de f .

x – 1

b/ Montrer que pour tout

x Î]0,+¥[/{1}on a :

f (x) £

.En déduire lim

x®0⁺

f (x) et lim

x®+¥

f (x)

c/ Montrer que f est continue en 0.

d/ Calculer lim (x

x ). f (x) , lim

f (x) et lim

f (x) .En déduire la nature de la branche infinie à C au

x®+¥

voisinage de – ¥

x®-¥

x®-¥

x

x – 1

f

sin x

• Pour tout x Î]0,+¥[/{1}on pose u(x) =p (

) et v(x) =

x                       x

a/ Montrer que pour tout x Î]0,+¥[/{1}on a : f (x) = p

• vou(x)

b/ En déduire que f est prolongeable par continuité en 1

• Calculer

é 1

lim f

x®2        ë

ù

f (x)ú

û

, lim

x®+¥

fof (x) et

lim

x®-¥

fof (x) .

f (x)

• On désigne par g le prolongement par continuité de f en En utilisant la fonction g ,montrer que

l’équation :      p = 3(

x

• 1 ) admet au moins une solution a Î]1,2[

Exercice (3) : (6.5 pts)

ìu₀ = u₁ = 1

On considère la suite (un ) définie sur IN par :

• a/ Calculer u₂ et u ₃

îun+2   = un+1 + un ..;.n Î IN

b/ Montrer par récurrence que pour tout

n Î IN ^* on a u

³ n .En déduire lim u

n®+¥

c/ Montrer que pour tout

n Î IN on a un+1 ³ un

d/ Montrer que pour tout

n Î IN :

u u      = (-1) ⁿ + (u     ) ²

• Soit les suites (a

) et (b

) définies sur IN ^* par a

= u2n-1 et b

=  u2n

n

a/ Montrer que pour tout

n

n Î IN ^* :

n

2n

– a_n =

u  u

n

2n+1

2n    2n+1

b/ En déduire que pour tout

n Î IN ^* :a  b

et 0  b

– a_n

£   1

4n²

• a/ Montrer que pour tout

n Î IN ^* : a

n+1

– a_n

=

u2n

1

u2n+ 2

( utiliser 1) d )

b /Montrer que pour tout

n Î IN ^* : a

= 1 – 1

n

n

c/ En déduire la variation de chacune des suites (a_n ) et (b _n )

d/ Montrer que les suites (a_n ) et (b_n ) sont adjacentes et calculer leur limite commune.