Exercice N°1(4points)

La courbe ci-contre est celle d’une fonction 𝑓𝑓 définie est continue sur ℝ ∗

𝑦 = 𝑥 − 4 , 𝑥 = 0 sont des asymptotes à 𝐶𝑓𝑓

La droite 𝑦 = −2𝑥 est une direction asymptotique à 𝐶𝑓𝑓 en −∞

• Déterminer par une lecture graphique les limites suivantes

lim f (2x + f (x))

, lim f (f (x)) – f (x)

x®-¥                    x

x®0⁺

lim f (2x + f (x))

x®0^–                     x

• Pour tout 𝑛 ∈ ℕ ^∗on définit la fonction 𝑔𝑛 sur l’intervalle ]0,1] par 𝑔𝑛(x) = f(x) − n x
  1. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ ^∗il existe un unique réel 𝛼𝑛 ∈ ]0,1[ tel que 𝑔𝑛(𝛼𝑛) =
  2. Montrer que 𝑔_𝑛+1(𝛼_𝑛) < 0 et en déduire que la suite (𝛼_𝑛) est décroissante.
  3. Montrer alors que (𝛼𝑛) est convergente puis calculer sa limite.

Exercice N°2(6points)

Soit (

→ → ) un repere orthonormé direct du plan complexe P

Soit A le point d’affixe 1.On considere l’application f du plan P dans le plan P qui a tout point M(z) on associe le point M’(z’) tel que z’=2z-z²

• On désigne par M₁ et M₂ les points d’affixes z² et 2z
  1. Trouver l’ensemble des points M tel que O,M₁et M₂ soient alignés
  2. On suppose que M n’appartient pas a l’axe des abscisses Montrer que OM₁M₂M’ est un parallélogramme

1. On suppose que

z = e^iq avec qÎ[-p, p[ , construire les points M,M₁,M₂ et M’

• Dans cette question M est un point du cercle C de centre O et de rayon 1
  1. Montrer que AM=MM’

1. Montrer que le rapport z ‘-1

z

est réel

1. En déduire que les points A et M’ sont symetrique par rapport a la tangente en M au cercle C

• Soit r Î IR^*

.On designe par G le cercle de centre A et de rayon r et

G ‘ le cercle de centre A et de

rayon r²

1. Montrer que f( G ) est inclus dans G ‘
2. Résoudre dans C l’équation ( E ) : 2z-z²=1+ r²e^2it

avec  t    [  p  p

2 2

1. En déduire que f( G )= G ‘
2. Trouver la forme trigonometrique des solution de ( E) dans le cas ou r=1

Exercice N°3(5points)

4 u ² – u + 20

Soit la suite réelle (u_n) définie par u₀=5 et u_n+1=

          n                n                

• Vérifier que “n Î IN on a :  u

– 4 =

4 – un

u ² + 4

n +1

u 2 + 4

• Montrer que “n Î IN on a : u2n ³ 4 et u2n+1 £ 4

• a) Montrer que “n Î IN on a :

un +1 – 4 £

un – 4

æ 1 ön

• En déduire que “n Î IN on a : u – 4 £ ç ÷

è    ø

• Montrer alors que (u_n) est convergente vers 4

• Soit la suite (Sn ) definie sur IN par Sn   = å(uk  – 4)

k=0

1. Montrer que”n Î IN on a : S

-S   = (u

– 4)[1-       1      ]

2n+2             2n                 2n+1

2

2n+1

En déduire que la suite (S_2n) est décroissante

1. Montrer que la suite (S_2n+1) est croissante

1. Prouver que les deux suites (S_2n) et (S_2n+1) sont adjacentes

1. Montrer que (Sn) est convergente vers L et que S₃<L<S₂

Exercice N°4(5points)

On considere un triangle equilateral direct IBC .

Soit C le cercle de centre I et de rayon IB et H le melieu de [BC] La demi droite [HI) coupe C en A et soit A’ = S_(CI)(A)

• Montrer que A’C=AB
• Caracteriser l’isometrie R= S_(AH) ∘ S_(IB)
• La droite (CI) recoupe C au point D On pose f=S_(AH) ∘ S_(BD) et I’=S_(BD)(I)
  1. Montrer que (AH)et (BD) sont paralléle
  2. Déterminer f(B) et f( I’)
  3. Caracteriser f
  4. En déduire que I’ ÎC

4)   Soit A’’= t–––→   (A’)

1. Montrer que (A’B)//(AC)
2. En déduire que A’’ est un point de (AC)

• Soit g= t–––→∘ S(BD)
  1. Caracteriser g ∘ S_(AH)
  2. Identifier alors g