Devoir de Contrôle N°1 – Math – Bac Sciences exp (2017 – 2018)

1°) Soit f la fonction définie sur ℝ

x  3 
par: f (x)= 

si x  0

 x .sin    3 si 0  x
  


a. Montrer que pour tout réel x  0, on a :
b. Montrer que f est continue en 0.
c. Justifier que f est continue sur ℝ

 

3   f ( x )  3 

2°) a. Montrer que :

lim f x   1
x 

b. Calculer les limites suivantes :

lim f x 

et lim f  x 

x 

x 2   x  2 

f tanx  si x    ,0

3°) Soit g la fonction définie sur

  ,0 

par: g( x )    2 

 2 


0 si x   
 2

Montrer que g est continue sur

  ,0 

 2 
U U 2  1

Soit la suite (Un ) définie sur ℕ par:

0  4 et Un1  n
2Un

pour tout n  ℕ

1°) a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

Un ≻ 1

b. Montrer que la suite (Un )

est décroissante

c. Déduire que

(Un )

est convergente et calculer sa limite

2°) a. Montrer que pour tout entier naturel n on a : 0 ≺ Un+1 −1 ≤ 1 (Un −1)

1 n
b. Montrer alors que pour tout entier naturel n on a : 0 ≺ Un −1 ≤ 3. 
2 
c. Déduire la limite de (Un )

3°) On pose pour tout entier non nul n,

n
Sn   Uk
k1

 1 k

a. Justifier que pour tout entier naturel non nul k on a : 1 ≤Uk ≤ 1 +3. 

  1 n 

2 

b. Montrer que : n ≤ S

≤ n + 3.1 −  

c. Déduire

lim Sn
n

n 

et lim Sn n n

2  


On considère dans ℂ l’équation E  : z2  2   iz  4i  0

1°) a. Vérifier que : 2  2i2  8  8i

b. Résoudre l’équation E 
2°) On considère dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O,u,v

, les points A , B

et C d’affixes respectives :

zA  2

 2i , zB  2

et zC   3i

a. Montrer que le triangle OBC est isocèle en O

b. Mettre z A

sous forme exponentielle

c. Construire alors les points A , B et C

3°) On considère les points D et E d’affixes : z

D  2i et zE

  zC
2

a. Montrer que :

zC  zE
zB  zD

 i 3 3
4

puis interpréter géométriquement le résultat

b. Montrer que les point B , E et D sont alignés
c. Placer le point D puis construire E dans le repère O,u,v
d. Montrer que l’aire du triangle BDC est égale à 6