Devoir de Contrôle N°1 – Math – Bac Sciences exp (2019-2020)

Prof : 𝑀𝑟 AFLI EZZEDDINE Devoir de contrôle n°1 Mathematiques Lycee secondaire taher hadded Bouhajla
Niveau : 𝟒𝟒é𝑚𝑒 annee sc

EXERCICE N°1( 06 PTS )

Soit la fonction f définie sur IR par f(𝑥) = �

√2𝑥+ 𝑥 2
𝑥+1
𝑠𝑠𝑠𝑛 3 𝑥
√1+ 𝑥 2 −1

𝑠𝑠𝑠 𝑥 ≥ 0
𝑠𝑠𝑠 𝑥 < 0 1) montrer que pour tout 𝑥 < 0 on a : | 𝑓𝑓(𝑥)| ≤ 1 √1+ 𝑥 2 −1 ; en déduire que lim𝑥→ −∞ 𝑓𝑓(𝑥) 2) calculer lim𝑥→ +∞ 𝑓𝑓(𝑥) 3a) vérifier que pour tout 𝑥 < 0 on a : f(𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑛 3 𝑥 ( 1 + √1 + 𝑥2 ) 𝑥 b) montrer que f est continue en 0 4) soit g la fonction définie sur [ 0 ; 𝜋 ] par g(𝑥) = �𝑓𝑓 � 1 − 1 � 𝑠𝑠𝑠 𝑥 ∈ ] 0 , 𝜋 ] 2 a) montrer que g est continue à droite en 0 b) montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; 𝜋 ] on a g(𝑥) = cos 𝑥 2 𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 2 1 𝑠𝑠𝑠 𝑥 = 0 c) montrer que l’équation g(𝑥) = 𝑥 admet dans [ 0 ; 𝜋 ] une unique solution 2 EXERCICE N°2 ( 05 PTS ) Sur la feuille annexe ( C ) est la représentation graphique d’une fonction f Utiliser le graphique pour répondre aux questions 1) lim𝑥→−∞ 𝑓𝑓(𝑥) ; lim𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥) ; lim𝑥→0+ 𝑓𝑓(𝑥) ; lim𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥) et lim𝑥→+∞( 𝑓𝑓(𝑥) − 2𝑥 ) 2) étudier la continuité de f en 0 3) déterminer : f( ] - ∞ ; -1] et f( ] 0 ; 2] 4) soit g la fonction définie sur IR\ 1 et dont le tableau de variation est le suivant a) Calculer : lim𝑥→+∞( 𝑓𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ; lim𝑥→1 (𝑓𝑓𝑜𝑔)(𝑥) b) déterminer le domaine de définition de ( gof ) EXERCICE N°3 ( 05 PTS ) le plan complexe est munie d’un repère orthonormée direct ( O ; 𝑈�⃗ ; 𝑉�⃗ ) . soit ( 𝐸𝛼 ) : (𝛼 – i ) 𝑧2 - [ 2(𝛼 - i ) + i𝛼 ] z + 2i𝛼 = 0 avec 𝛼 un nombre complexe différent de i I) dans cette partie on prend 𝛼 = 1 1) donner la forme cartésienne de ( 2 − 3𝑠𝑠 )2 2) résoudre ( 𝐸1 ) . on notera 𝑍1 𝑒𝑡 𝑍2 les solutions avec la partie réelle de 𝑍1 est inférieure à celle de 𝑍2 3) donner la forme exponentielle de 𝑍1 4) montrer que 𝑍12002 est imaginaire pure II ) dans cette partie on prend 𝛼 = 𝑒𝑠𝑠𝑖𝑖 ou 𝑖𝑖 ∈ ] 0 ; 𝜋 [ 2 𝑖𝑖 𝜋 𝑠𝑠( 𝑖𝑖 − 𝜋 ) 1) montrer que 𝛼 - i = 2cos ( 2 + 4 ) 𝑒 2 4 2) vérifier que 2 est une racine de ( 𝐸𝛼 ) 3) trouver donc Z’ l’autre solution de ( 𝐸𝛼 ) en fonction de 𝛼 4) donner la forme exponentielle de Z’ 5) déterminer la valeur de 𝑖𝑖 tel que le triangle OM’M’’ soit isocéle en O avec M’ d’affixe Z’ et M’’ d’affixe i EXERCICE N°4 ( 04 PTS ) le plan complexe est munie d’un repère orthonormée direct ( O ; 𝑈�⃗ ; 𝑉�⃗ ) . on donne les A ; B ; C et D d’affixes respectifs 𝑧𝐴 = 1 + i ; 𝑧𝐵 = √3 + i ; 𝑧𝐶 = 1 - i√3 et 𝑧𝐷 = (√3 + 1 ) + i ( 1 - √3 ) 1a) donner la forme exponentielle de 𝑧𝐴 ; 𝑧𝐵 et 𝑧𝐶 b) placer les points A ; B et C c) montrer que le triangle OBC est rectangle isocèle 2) on donne le nombre complexe Z = 𝑧𝐴3𝑧𝐵 a) donner la forme algébrique de 𝑧𝐴3 puis déduire la forme algébrique de Z b) donner la forme trigonométrique de Z c) déduire les valeurs exactes de : cos 11𝜋 12 et sin11𝜋 12 BON TRAVAIL