‘‘Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie’’

Exercice 1 (3 points)

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse :

• Lorsque θ varie dans[0,π] , le point M d’affixei+ 2eiθ

varie sur un cercle.

• Si z est un nombre complexe tel que

z = 2 , alors

z +iz = 2      .

• Si lim f(x) = – ¥ , et si, pour tout

x®+¥

x £ 2, g(x) = 4x – 2 – x, alors lim gοf(x) = +¥.

x®+¥

Exercice 2 (6 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, u, v).

Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, -3i et –i.

Pour tout point M du plan d’affixe z (z≠ -3i), on associe le point M’ d’affixe z’ définie par :

z¢ =

iz -1 . z + 3i

• Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.
• Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z¢=
• a) Vérifier que (z’ – i)(z + 3i) =

→‸––––→              →‸–––→

1. b) En déduire que AM’.BM = 2 et que(υ, ΑΜ¢) +(υ,ΒΜ) º0[2π].

iπ

• Soit le point E d’affixe zE = -3i – 2e 4 .
  1. Calculer

1. Déterminer

→ –––→

(u,BE).

Exercice 3 (6 points)

A/ Soit la fonction f définie sur ℝ par :

ì

ïx +    x² -1         si x á -1

ï

f(x) = í4x + 6x -1     si -1£ x £ 0 .

ï1- cos(πx)

• a) Calculer

lim f(x).

x®-¥

ï                   -1 si x ñ 0

î        x

1. Montrer que, pour tout x > 0, -1£ f(x) £ 2 -1.

x

1. En déduire

lim f(x).

x®+¥

• Etudier la continuité de f en (-1) et en

B/ Soit la fonction g définie sur ℝ par : g(x) =

• Déterminer le domaine de continuité de

x² -1- 4.

• Soit h la restriction de g à l’intervalle [1, + ¥[.
  1. Montrer que h est strictement croissante sur[1, + ¥[.
  2. Déterminer h ([1, + ¥[ ).
• Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une unique solution sur [4 , 5].

Exercice 3 (5 points)

Dans le graphique ci-contre, on a représenté La courbe (C ) d’une fonction f définie sur ℝ^*. La droite : ∆ : y = x est une asypmtote à (Cf )

au voisinage de +∞, la droite : y = 1 est une

asymptote à (Cf ) au voisinage de -∞ l’axe des ordonnées est une asymptote à (Cf ) à gauche et à droite en 0.

Utiliser la graphique pour répondre.

1) Déterminer

lim f(x) ,     lim f(x) – x ,    lim f(x)

, lim 1

et lim f(x)sin(

1 ).

x®+¥

x®+¥

x®-¥     x

x®-1 f(x)

x®0

f(x)

2) Déterminer f(]-¥,-1]) , f([-1,0[) et f(]0,1]).

• Montrer que la fonction g définie par g(x) =

est continue sur

ℝ^* \ {-1}.

• La fonction g admet elle un prolongement par continuité en