Lycée S.C.J Gafsa

A /S 2019-2020

DEVOIR DE CONTROLE

N°1

Prof: Slimen.Lazher

Niveau :4^è𝑚𝑒𝑇₁

Exercice N°1(4pts) :

Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses est exacte. Indiquer la bonne réponse en justifiant votre réponse.

i

1/Soit z un nombre complexe. Si 𝜃 = arg(𝑧) alors un argument de z est :

1. a) ^𝜋 + 𝜃 b) ^𝜋 − 𝜃 c) 𝜃

2                                                                                                                                     2

2/ Soient A, B et M trois points du plan d’affixes respectives 𝑍_𝐴, 𝑍_𝐵 et 𝑍_𝑀. L’ensemble des M tel que (𝑍_𝐵 − 𝑍_𝑀) = −𝑖√2(𝑍_𝐴 − 𝑍_𝑀) est

1. a) la médiatrice de [𝐴𝐵] b)le cercle de diamètre [𝐴𝐵] privé de A et B c)La droite (AB)

3/ lim

𝑥→+∞

𝑥 sin(⁴) est égal :

𝑥

1. a) 1 b) 4                                                                          c) 0 4/Si 𝑓 est une fonction vérifiant pour tout 𝑥 > 1                                              𝑓(𝑥) ≤ −𝑥 + cos 𝑥 alors :

1. a) 𝑓 n’admet pas une limite en (+∞) b) lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = −∞                         c) lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞

Exercice N°2(8pts) :

𝑥+cos(𝜋𝑥)

𝑠𝑖 𝑥 < 1

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :𝑓(𝑥) = {

𝑥−1

√𝑥2 + 3 − 1         𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

On désigne par 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗)

1/ a-Montrer que pour tout 𝑥 < 1 on ’a :^𝑥+1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1

𝑥−1

b-Déterminer lim

𝑥→−∞

𝑓(𝑥). Interpréter graphiquement le résultat.

2/a- lim

𝑓(𝑥), lim ^𝑓(𝑥) puis   lim

[𝑓(𝑥) − 𝑥]

𝑥→+∞

𝑥→+∞   𝑥

𝑥→+∞

b- Interpréter graphiquement le résultat

3/a- On posons 𝑋 = 𝑥 − 1, Montrer que ^{𝑥+cos(𝜋𝑥)} = 1 + ^{1−cos(𝜋𝑋)}

𝑥−1                                               𝑋

b- En déduire lim 𝑓(𝑥)

𝑥→1

c-Montrer que 𝑓 est continue sur ℝ

4/a-Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet au moins une solution 𝛼 ∈] − ¹ , 0[

2

b-Vérifier que sin(𝜋𝛼) = −√1 − 𝛼2

Exercice N°3(8pts) :

Le plan  complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗).On considère les points

A, B et C trois points d’affixes 𝑍_𝐴 = 1 − 𝑖 , 𝑍_𝐵 = 2 + √3 + 𝑖 et 𝑍_𝐶 = 2 et 𝛏 le cercle de centre C et de rayon 2 1/a-Vérifier que 𝐵 ∈ 𝝃

b-Placer les points A et C puis construire le point B 2/a-Ecrire 𝑍_𝐴 sous forme exponentielle.

b-Ecrire ^𝑍𝐵 sous forme algébrique

𝑍𝐴

c-Montrer que ^𝑍𝐵

𝑍𝐴

𝜋

= (1 + √3)𝑒 3

d-En déduire la forme exponentielle de 𝑍 et déduire la valeur exacte de sin( ^𝜋 )

12

3/Déterminer l’ensemble des points 𝑀(𝑧) du plan tel que |𝑧| = |𝑧̅ − 1 − 𝑖|

4/Pour tout point M du plan d’affixe 𝑧 ≠ 2, on associe le point M’ d’affixe Z’ tel que 𝑧′ = −3𝑖(^{𝑧−1+𝑖})

𝑧−2

a-Déterminer l’ensemble des ponts 𝑀(𝑧) tel que z’ soit réel

b-Montrer que 𝑂𝑀′ = 3 ^𝐴𝑀

𝐶𝑀

c-En déduire l’ensemble de ponts M’ lorsque M décrit la médiatrice de [𝐴𝐶]