Devoir de Contrôle 1 Mathématiques 3 éme maths

Soit f la fonction définie sur

ℝ / {2}

par :

f ( x) = x

– 3x + 3 x – 2

On désigne par (C) sa courbe représentative  dans un repère orthonormé (O, i, j)

x² – 4x + 3

1°) a– Déterminer le domaine de dérivabilité de f et montrer que :

b– Dresser le tableau de variation de f.

f ‘( x) =

(x – 2 )2          .

2°) a– Vérifier que pour tout

x Πℝ / {2} on a: f ( x) = x –1 +    1       

x – 2

• Montrer que (C) admet une asymptote oblique ∆ et une asymptote verticale D que l’on précisera

• Montrer que le point

3°) Construire ∆, D et (C).

I (2,1) est un centre de symétrie de (C).

4°) Soit g la fonction définie par :  g( x) =                                .

Construire, avec une couleur différente,  dans le même repère  la courbe (C’) de g.

5°) Soit h la fonction définie sur  ℝ / {2}

par :

ì f ( x)

h( x) = í x ² – 5 x + 7

si x < 2

• Vérifier que si x > 2 on a: h( x) =

f ( x) – 2

ï      x – 2

si x > 2

• Donner un procédé de construction de la courbe représentative ( C’’) de h

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,u, v)

1°)  On considère les points

A et B d’affixes respectives: zA = –1 + i

;  zB  =

3-1+i (

+ 1)

• Calculer les distances: OA , OB et AB et déduire que OAB est isocèle et rectangle en A

• Mettre z_A

sous forme trigonométrique

• Construire les points A et B  dans le repère (O,u, v)

2°)  a– Vérifier que : zB

= (1 – i ).z_A

• Mettre 1 – i   puis zB            sous forme trigonométrique

• En déduire les valeurs exactes de

cos æ 5p ö

et   sin æ 5p ö

ç       ÷                ç       ÷

è       ø                è       ø

3°)  On considère le point C d’affixe :

zC   =        + i

. Montrer que OABC est un carré

4°)  Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que :

z +1 + i= z –       – i

Le code antivol d’un autoradio est un nombre formé de quatre chiffres, chaque chiffres pouvant prendre l’une des dix valeurs : 0, 1 ,….,9 ( ainsi 0027 est un code)

1°) a– Quel est le nombre des codes possibles ?

• Quel est le nombre des codes formés de quatre chiffres distincts ?
• Quel est le nombre des codes formés de quatre chiffres distincts commençant par 0 ?

2°) a– Le propriétaire de la voiture sait que les quatre chiffres de son code sont : 1, 3, 9, et 5 mais il a oublié l’ordre chiffres ; quel est le nombre maximal d’essais infructueux peut- il faire pour retrouver son code ?

b– Même question s’il sait que les quatre chiffres sont : 1, 5, 5 et 7

3°) La voiture est elle-même protégée par un autre antivol : il faut appuyer simultanément sur quatre touches d’un cadran portant dix touches marquées : A, B, C,. …. et J ,

pour ouvrir la portière, combien de possibilités de codes ?