Lycée Houmet Souk Prof : Loukil Mohamed Devoir de Contrôle N : 2 Durée : 2 Heures 4 Mathématique 1 […]
Lycée Houmet Souk
Prof : Loukil Mohamed |
Devoir de Contrôle N : 2
Durée : 2 Heures |
4 Mathématique 1
19 – 02 – 2019 |
EXERCICE N : 1 ( 4.5 points )
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Soit f : P ® P ; M( Z ) M’( ) ’ ) avec : ) ’ = 1- i
Z – 2 + 2 i .
- ) a ) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω , le rapport et l’angle .
b ) On pose M ( x , y ) et M’ ( x’ , y’ ) . Exprimer x et y en fonction de x’ et y’ .
- ) On donne la courbe ( G ) d’équation : x y – 2 x – 3 y – 1 = 0 et f ( G ) = G ’ .
a ) Montrer que ( G ’ ) a pour équation : x‘ 2 – y‘ 2 – x‘ + 3 y‘ – 9 = 0
b ) Prouver que ( G ’ ) est une hyperbole et donner son centre , ses foyers et ses directrices .
c ) En déduire la nature de ( G ) et ses caractéristiques .
EXERCICE N : 2 ( 7 points )
Ù
Dans un plan orienté ,on considère le losange ABDC de centre O tel que ( AB , AC ) º 2 a (2 π)
où a Î] 0 , π [ et BC = 2 unités . ( Pour le traçage de la figure on prend a = π )
2 6
On désigne par K et J les projetés orthogonaux respectifs de O et D sur ( AC ) et par E = SK ( O ) .
A ) 1 ) Soit S la similitude directe qui transforme B en O et C en E .
a ) Montrer que S a pour angle a et pour rapport cosa .
b ) Prouver que A est le centre de S .
2 ) Soit s la similitude indirecte telle que s ( B ) = O et s ( C ) = E .
a ) Prouver que s admet un centre qu’on note Ω .
b ) Montrer que s ( O ) = K puis déduire que = cos2a .
c ) Montrer que JK
BD
= cos2a
puis déduire que s o s ( D ) = J .
d ) Construire Ω et l’axe Δ de s .
B ) Dans cette partie on munit le plan du repère orthonormé direct R ( O , OC , v ) .
- ) Prouver que : ZK =
cos2a
+ i cosa sina .
- ) Montrer que :
Z = 2 cotan 2a + i cotan a .
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- ) On suppose que B et C sont fixes , prouver alors que lorsque a décrit ] 0 ,π[ le point
2
varie sur une parabole fixe (P ) dont on précisera le sommet , le foyer F et la directrice (D ) .
EXERCICE N : 3 ( 8.5 points )
Pour tout n Î IN* on note fn
la fonction définie sur [ 0 , + ¥ [ par : f
n( x ) =
xne-x .
n!
On désigne par ( Cn ) la courbe de fn dans le repère orthogonal R ( O ; i ; j ) tel que :
=1 et
=10
A ) 1 ) a ) Etudier les variations de f1 sur [ 0 , + ¥ [ .
b ) Pour tout n Î IN* \{ 1 } , dresser le tableau de variations de fn sur [ 0 , + ¥ [ .
- ) Pour tout n Î IN* , étudier les positions relatives de ( C n+1 ) et ( Cn ) .
- ) On a tracé dans l’annexe les courbes ( C1 ) et ( C3 ) .
a ) Sans justification , graduer le repère puis nommer sur l’annexe les deux courbes .
b ) Tracer soigneusement la courbe ( C2 ) ainsi que les demi-tangentes à l’origine pour chacune des trois courbes .
B ) On considère la suite ( Un ) définie sur IN* par : Un = f n ( n ) .
- ) a ) En utilisant les résultats de la parie A ) démontrer que ( Un ) est décroissante sur IN* .
b ) ( Un ) est-elle convergente ? ( Justifier votre réponse ) .
- ) a ) Montrer que pour tout t Î [ 0 , 1] , 1 £ 1 – t .
1+t 2
b ) Déduire que pour tout x Î [ 0 , 1 ] ; ln( 1 + x ) £ x – x2 .
4
1 n 1 – 1
c ) Prouver alors que pour tout n Î IN*, ( 1 + n ) £ e 4n
- ) a ) Démontrer que pour tout n Î IN* ,
Un +1
Un
– 1
£ e 4n .
b ) En déduire que pour tout IN* \{1} on a : Un £
-( 1 + 1 n -1 1 )
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k=1
- ) a ) Connaissons que pour tout k ÎIN* et t Î [ k , k+1] on a : 1 £ 1 ,
montrer que pour tout n Î IN* \{1} on a :
n dt £
t k
nå-1 1 .
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1 t k=1 k
– 1 – 1 ln (n)
b ) En déduire que pour tout n Î IN* \{1} on a : Un £ e 4 .
c ) Déterminer alors la limite de la suite ( Un ) .
Nom et Prénom :
Annexe à rendre avec la copie