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Devoir de Contrôle N°2 – Math – Bac Mathématiques (2018-2019)

Lycée Houmet Souk Prof : Loukil Mohamed Devoir de Contrôle N : 2 Durée : 2 Heures 4 Mathématique 1 […]

Devoir de Contrôle N°2 – Math – Bac Mathématiques (2018-2019)
Lycée Houmet Souk

Prof : Loukil Mohamed

Devoir de Contrôle N : 2

Durée : 2 Heures

4 Mathématique 1

19 – 02 – 2019

 

 

 

EXERCICE N : 1 ( 4.5 points )

2

Soit  f : P  ® P      ;    M( Z )        M’( ) ’ )  avec :       ) ’ = 1- i

 

Z – 2 + 2 i .

 

 

  • ) a ) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω , le rapport et l’angle .

b ) On pose M ( x , y )  et M’ ( x’ , y’ ) . Exprimer x et y en fonction de x’ et y’ .

 

  • ) On donne la courbe ( G ) d’équation : x y – 2 x – 3 y – 1 = 0 et     f ( G ) = G .

 

a ) Montrer que ( G ’ ) a pour équation : x2 – y2 – x+ 3 y– 9 = 0

b ) Prouver que ( G ’ ) est une hyperbole et donner son centre , ses foyers et ses directrices .

c ) En déduire la nature de ( G ) et ses caractéristiques .

EXERCICE N : 2 ( 7 points )

 

Ù

Dans un plan orienté ,on considère le losange ABDC de centre O tel que ( AB , AC ) º 2 (2 π)

 

a Î] 0 , π [ et BC = 2 unités . (  Pour le traçage de la figure on prend a = π )

2                                                                                                                   6

 

On désigne par K et  J les projetés orthogonaux respectifs de O  et D sur ( AC ) et par E = SK ( O ) .

 

A ) 1 ) Soit S la similitude directe qui transforme B en O et C en E .

 

a ) Montrer que S a pour angle a et pour rapport cosa    .

b ) Prouver que A est le centre de S .

2 ) Soit s la similitude indirecte telle que s ( B ) = O et s ( C ) = E .

a ) Prouver que s admet un centre qu’on note Ω   .

b ) Montrer que ( O ) = K puis déduire que            = cos2a          .

 

c ) Montrer que JK 

BD

= cos2a

puis déduire que s o s ( D ) = J    .

 

d ) Construire Ω et l’axe Δ de s   .

B ) Dans cette partie on munit le plan du repère orthonormé direct R ( O , OC , v ) .

 

  • ) Prouver que : ZK =

cos2a

+ i cosa sina    .

 

  • ) Montrer que :

Z   = 2 cotan 2a + i cotan a .

 

 

Ω
Ω
  • ) On suppose que B et C sont fixes , prouver alors que lorsque a décrit ] 0 ,π[ le point

2

varie sur une parabole fixe (P ) dont on précisera le sommet , le foyer F et la directrice (D ) .

 

EXERCICE N : 3 ( 8.5 points )

 

 

Pour tout n Î IN* on note fn

la fonction définie sur [ 0 , + ¥ [ par : f

n( x ) =

xne-x   .

n!

 

On désigne par ( Cn ) la courbe de fn dans le repère orthogonal R ( O ; i ; j ) tel que :

=1 et

=10

 

 

A ) 1 ) a ) Etudier les variations de f1 sur [ 0 , + ¥ [ .

b ) Pour tout n Î IN* \{ 1 } , dresser le tableau de variations de fn sur [ 0 , + ¥ [ .

  • ) Pour tout n Î IN* , étudier les positions relatives de ( C n+1 ) et ( Cn ) .

 

  • ) On a tracé dans l’annexe les courbes ( C1 ) et ( C3 ) .

 

a ) Sans justification , graduer le repère puis nommer sur l’annexe les deux courbes .

b ) Tracer soigneusement la courbe ( C2 ) ainsi que les demi-tangentes à l’origine pour chacune des trois courbes .

 

B ) On considère la suite ( Un ) définie sur IN* par : Un = f n ( n ) .

 

  • ) a ) En utilisant les résultats de la parie A ) démontrer que ( Un ) est décroissante sur IN* .

b ) ( Un ) est-elle convergente ? ( Justifier votre réponse ) .

 

  • ) a ) Montrer que pour tout t Î [ 0 , 1] ,    £ 1 – t   .

1+t         2

b ) Déduire que pour tout x Π[ 0 , 1 ] ;   ln( 1 + x ) £ x – x2     .

4

1   n         1 – 1

c ) Prouver alors que pour tout n ΠIN*, ( 1 + n )    £ e     4n

 

  • ) a ) Démontrer que pour tout n Î IN* ,

Un +1

Un

 1

£ e 4n .

 

b ) En déduire que pour tout IN* \{1} on a : Un £

-( 1 + 1 n -1 1 )

4 å k
e                .

k=1

 

  • ) a ) Connaissons que pour tout k ÎIN* et t Π[ k , k+1] on a :    1 £ 1 ,

 

montrer que pour tout  n Î IN* \{1} on a :

n dt £

t     k

nå-1 1  .

 

ò

1   t          k=1 k

– 1 – 1 ln (n)

b ) En déduire que pour tout n ΠIN* \{1} on a : Un £ e      4           .

c ) Déterminer alors la limite de la suite ( Un ) .

 

Nom et Prénom :

 

Annexe à rendre avec la copie

 

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