N.B : Le sujet comporte (03) pages .

Il sera tenu compte de la bonne rédaction et la présentation  de la copie

Exercice n°1(6points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé R= (

→ →

O ;i ; j

( unité graphique 2cm)

Pour tout x Î

[0;1] On pose f (x) = xⁿ

1 – x²

; n Î IN et Cn la courbe de

fn dans R

• Vérifier que la courbe représentative C₀ de f₀

est un quart de cercle à préciser

• Etudier

f1 et tracer    C0  et C1  dans le même repère R (On précisant la tangente à C1  en 0)

• Calculer l’aire H en cm² de la partie limitée par les deux courbes C

et C

et les droites x=0 et x =1

• On pose ” n Î IN       Un  = ò0   fn (x)dx

1. Montrer que ” n Î IN on a     0 £ U    £      1

• Déterminer alors lim U

x®+¥

ⁿ        n +1

1. Montrer que U2

= 1 U

4    0

1. Montrer que ” n ³ 2 on a (n+2)Un = (n -1)Un-2

1. En déduire que U

= 1´ 3´…………..´ (2n -1) ´ p

²ⁿ     4 ´ 6 ´………………(2n + 2)    4

; “n Î IN ^*

Exercice n°2(6points)

Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = 2  x

1+ x

• Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement
• Dresser le tableau de variation de f

• Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur [0;1]

• Tracer C f et Cg  dans un même repère orthonormé (Unité graphique 4cm)

• Soit h la fonction définie sur [0;1] par h(x)=òxf (t)dt

et soit H la fonction définie sur

é0; p ù

par H(x) = h(tan 2 x)

ëê   4 úû

1. Montrer que H est dérivable sur é0; pù et calculer H’(x)

ëê   4 úû

1. En déduire que “x Î é0; pù

H(x) = 4tan(x) – 4x + p – 4

ëê    4 úû

1. Calculer alors

A =   1 2 t dt

0 1+ t

1. Calculer l’aire A en unité d’aire du domaine limité par Cf

Exercice n° 3(3points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (

et Cg

^{→ →}) on considère les points M, M’ et M’’d’affixes

respectives  Z = e^iq , Z’ = (1-i)e^iq -i et Z” = (1+i)e^iq – i

• Montrer que l’ensemble des points M’ lorsque qÎ[0; 2p [
• a) Vérifier que Z’’ = iZ’-1-i

1. b) Déduire l’ensemble des points M’’ lorsque qÎ[0; 2p[

• Soit I le milieu de [M ‘ M ”]

est le cercle (C) de centre A(i) et de rayon    2

1. Montrer que I est l’image de M par une translation que l’on déterminera
2. Déduire l’ensemble des point I lorsque qÎ[0; 2p [

Exercice n° 4(5points)

On considère dans le plan orienté un triangle ABC isocèle en A et tel que (–––→ ––→) º q [2p ] avec q Î ù0; p é  . On

désigne par I le milieu de [ AB] et par J le milieu de [ AC ]

BC; BA

ûú     2 êë

1. a) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement g tel que g(A) = C et g(B) = A
2. b) Vérifier que g est une symétrie glissante et donner sa forme réduite

• Soit G le cercle circonscrit au triangle ABC et soit O son La droite (OI )

coupe (BC) en D

• Soit f le déplacement tel que f(A) = C et f(B) = A ; Vérifier que f est une rotation d’angle -2q et déterminer son centre

1. Déterminer f(I)

• Soit D la droite telle que f =

S(OA) ∘ SD

1. En utilisant f(A) = C ; montrer que D = (OI )

1. En déduire la construction de D’ = f(D) puis montrer que D’ Î (OJ) 4)) Caractériser g ^–1 ∘ f

BON TRAVAIL