Devoir de Contrôle N°2 – Math – Bac Sciences exp (2020-2021)

Lycée Ibn khaldoun Jemmel

Classe : 4ème sciences
Devoir de Contrôle N°2 Le 12 / 03 / 2021
Prof :Garrab wissem Durée : 2 heures

Exercice N°1 :(3points)
Une expérience aléatoire est représentée par l’arbre de probabilité suivant :

1- Déterminer :
p(𝐴̅) , p(𝐵̅/𝐴) , p(𝐵) et p(𝐴 𝖴 𝐵).

2- les événements A et B sont-il indépendants ? Justifier.

Exercice N°2 : (3.5 points)
On donne la courbe f d’une fonction f définie sur L’axe des abscisses une asymptote horizontale
à f au voisinage de ()
f admet un point anguleux de coordonnées ( 2 , 3 )                             
f admet Une tangente verticale au point (1 , 2).
Par une lecture graphique répondre aux questions suivantes :

1- Donner

lim f (x) et lim
f (x) .

2- Donner

x 
lim f (x)  2

x 

; lim

x
f (x)  f (2)

et f ‘

(2).

x1

x 1

x2

x  2 g

3- Donner le tableau de variation de f.
4- a- Montrer que f réalise une bijection de ;2 
sur un intervalle I que l’on précisera.

b- Tracer

 1

c- Etudier la dérivabilité de 𝑓−1 sur I.

d- Donner lim
𝑥→3−
e-Justifier que

𝑓−1(𝑥)−2.
𝑥−3
 1 admet un point d’inflexion que l’on précisera.

Exercice N°3 : (6.5 points)
1- Soit 𝑔 la fonction définie sur IR par : 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥
√𝑥2+1
a- Vérifier que 𝑔 est dérivable sur IR et que 𝑔′(𝑥) = 1 .
(𝑥2+1)√𝑥2+1
b-Etudier les variations de 𝑔 et déduire que pour tout réel x , 𝑔(𝑥) > 0.
c- Montrer que 𝑔 admet une primitive dans IR et déterminer sa primitive qui s’annule en 0.

2- Soit 𝑓 la fonction définie sur IR par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 + √𝑥2 + 1
On désigne par ƒ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (o, i , j ) . a- Vérifier que 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ IR : 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥)

b-Montrer que lim
𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −1.Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c- Dresser le tableau de variation de f .
3- a- Montrer que la droite ∆: 𝑦 = 2𝑥 − 1 est une asymptote à  ƒ au voisinage de   .
b- Ecrire une équation de la tangente T à ƒ en O et étudier la position de T par rapport à  ƒ .

c- Tracer  ƒ T et ∆ dans le repère (o, i , j )(Placer les points de  ƒ d’abscisses 1 et -1) 4- a-Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.

b- Calculer (𝑓−1)′(√2).
c- Expliciter 𝑓−1.
d- Tracer ∁𝑓−1 :La courbe de 𝑓−1 dans le même repère .
Exercice N°4 : (7points)
On dispose d’une urne 𝑈1 contenant deux boules noires numérotées 1,2 et deux boules blanches numérotées 1,1. Toutes les boules sont indiscernables au toucher .
1- On tire trois boules de 𝑈1 l’une après l’autre en remettant, à chaque fois, la boule dans
l’urne. Calculer les probabilités des évènements suivants :
𝐸1 « Avoir trois boules de même couleur »
𝐸2 « Avoir exactement une seule boule noire et une seule boule numéroté 2 »
𝐸3 « la boule blanche apparait pour la première fois au deuxième tirage »
2- On dispose d’une autre urne 𝑈2 Contenant une boules noire et trois boules blanches .
On procède à l’expérience aléatoire suivante :
On tire au hasard une boule de 𝑈1.
– Si elle est blanche , on la remet dans 𝑈1 et on tire simultanément deux boules de 𝑈2 .
– Si elle est noire , on la remet dans 𝑈2 et on tire simultanément deux boules de 𝑈2 .
On considère les événements suivants : A « La boule tirée de 𝑈1 est blanche »
B « On tire deux boules blanches de l’urne 𝑈2 » C « On tire deux boules noires de l’urne 𝑈2 »
D « On tire deux boules de couleurs différentes de l’urne 𝑈2 » a- Recopier et compléter l’arbre de choix suivant :
B∩ 𝐴

𝐴

𝐴̅

D∩ 𝐴
B∩ 𝐴̅

C∩ 𝐴̅

D∩ 𝐴̅
b- Déterminer p(B) et p(D).
c- les deux boules tirées de 𝑈2 sont blanches, quelle est la probabilité que la boule tirée de 𝑈1
est blanche.

d- Montrer que la probabilité qu’il ne reste aucune boule noire dans 𝑈2

est égale à 3 .
10

e- quelle est la probabilité qu’il reste au moins une boule noire dans 𝑈2.