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    4ème année Techniques Mathématiques

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Devoir de Contrôle N°2 – Math – Bac Technique (2019-2020)

    Exercice N .01(03 points) Cocher la bonne réponse : → → →   L’espace est muni d’un repère […]

Devoir de Contrôle N°2 – Math – Bac Technique (2019-2020)

 

 

Exercice N .01(03 points)

Cocher la bonne réponse :

→ → →

 

L’espace est muni d’un repère orthonormé  (Oijk ).

 

1/ L’ensemble des points

M ( x , y ,z)

tels que :

ì2x – 6y + 2z – 7 0

î

í-x + 3y – z + 5 = 0

est

 

a/ l’ensemble vide      b/ une droite                  c/ un plan            d/ un point 2/ Les droites de représentations paramétriques respectives :

 

ìx = 1 – t

ïy = –1 + t

 

( t ΠIR )   et

ìx = 2 + a

ïy = –2 – a

(a Î IR)

sont

 

í                                            í

ïz = 2 3t                             ïz = 4 + 2a

î                                            î

a/ parallèles               b/ confondues      c/ sécantes            d/ non coplanaires

  • Soit f ( x ) =2 x( x2 1 )3 , la primitive F de f sur IR qui s’annule en (-1) est :

 

  1. a) F ( x ) =1 ( x2 +1 )4 4
  1. b) F ( x ) =1 ( x2 +1 )4 – 4

4

  1. c) F ( x ) =-4( x2 +1 )4 4

 

  • F est une primitive de f sur [-1,3]
    1. F positive sur [1,3]
    2. F croissante sur [1,3]
    3. F croissante sur [-1,1]

Exercice N .02( 08 points)

et z f

la courbe de f :

 

Soit f la fonction définie sur IR par : f

(x ) =

x       1

x 2 + 1

 

r ur

 

On désigne par (C f

) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ,i , j ) .

 

  • a) Montrer que pour tout x Î IR

, f’ (x ) =

(x 2

1

+ 1 )

.

x 2 + 1

 

  1. b) Montrer que pour tout x ÎIR+, f (x ) £ (x – 1 ) .
  • a) Montrer que le point I (0 ,1 )est un centre de symétrie de (Cf  .
  1. Ecrire une équation de la tangente T au point I .
  2. Etudier les positions de (C f )par rapport à T .

 

  1. En déduire que I est un point d’inflexion de (Cf .
  • a) Dresser le tableau de variation de f .

 

r ur

 

  1. b) Tracer T et (C f

) ainsi que ses asymptotes dans le repère orthonormé (O ,i , j ) .

 

  • a) Montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle à préciser.

r ur

  1. Tracer (Cf 1  la courbe de f 1   dans le  repère (O ,i , j .
  2. Montrer que l’équation f (x )= x admet une solution uniquea Î ]-2 , 1.
  • a) Expliciter f 1 (x )pour tout x de ]-2 ,0 .

 

  1. b) Déterminer (f1) (x )

Exercice.03(04 points)

pour tout x de ]-2 ,0 [ .

 

On considère la fonction f définie sur ]1,+¥[

par :

f ( x ) =       1     .

x   x2 1

 

1)   Montrer que f admet au moins une primitive sur ]1,+¥[ .

  • Soit F la primitive de f sur ]1,+¥[qui s’annule en    2 .

 

a)   Montrer que F est strictement décroissante sur ]1,+¥[ .

  1. En déduire le signe de F( x ) sur chacun des intervalles :
û         ë

ù   2 ,+¥é .

ù1,  2 é et

 

û            ë

  • Soit G la fonction définie sur ù p é par G( x ) = F(    1    ) .

 

úû0, 2 êë

sin x

 

a)   Montrer que G est dérivable sur ù    p é et déterminer sa fonction dérivée.

úû0, 2 êë

  1. En déduire que pour tout x de ù p é , G( x ) = x p .

 

 

  1. Calculer F( 2 ).

 

Exercice.04(05 points)

úû0, 2 êë

4

 

 

→→ →

 

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k) .

 

On considère les points

A(1, 0, 2) ,

B(1, 1, 4)

et C(-1,1,1) .

 

1/ a/ Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b/ En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). c/ Le point F(1,0,4) appartient-il au plan (ABC).

2/ Soient P: 2x + y + 2z + 1 = 0 et    Q: x – 2y + 6z = 0 .

 

a/ Montrer que les plans P et Q sont sécants suivant une droite D dont on déterminera un système d’équations paramétriques.

b/ La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

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