Exercice N .01(03 points) Cocher la bonne réponse : → → → L’espace est muni d’un repère […]
Exercice N .01(03 points)
Cocher la bonne réponse :
→ → →
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k ).
1/ L’ensemble des points
M ( x , y ,z)
tels que :
ì2x – 6y + 2z – 7 = 0
|
í-x + 3y – z + 5 = 0
est
a/ l’ensemble vide b/ une droite c/ un plan d/ un point 2/ Les droites de représentations paramétriques respectives :
ìx = 1 – t
ïy = –1 + t
( t Î IR ) et
ìx = 2 + a
ïy = –2 – a
(a Î IR)
sont
í í
ïz = 2 – 3t ïz = 4 + 2a
î î
a/ parallèles b/ confondues c/ sécantes d/ non coplanaires
- Soit f ( x ) =2 x( x2 + 1 )3 , la primitive F de f sur IR qui s’annule en (-1) est :
- a) F ( x ) =1 ( x2 +1 )4 4
- b) F ( x ) =1 ( x2 +1 )4 – 4
4
- c) F ( x ) =-4( x2 +1 )4 + 4
- F est une primitive de f sur [-1,3]
- F positive sur [1,3]
- F croissante sur [1,3]
- F croissante sur [-1,1]
Exercice N .02( 08 points)
et z f
la courbe de f :
Soit f la fonction définie sur IR par : f
(x ) =
x – 1
x 2 + 1
r ur
On désigne par (C f
) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ,i , j ) .
- a) Montrer que pour tout x Î IR
, f’ (x ) =
(x 2
1
+ 1 )
.
x 2 + 1
- b) Montrer que pour tout x ÎIR+, f (x ) £ (x – 1 ) .
- a) Montrer que le point I (0 , –1 )est un centre de symétrie de (Cf ) .
- Ecrire une équation de la tangente T au point I .
- Etudier les positions de (C f )par rapport à T .
- En déduire que I est un point d’inflexion de (Cf ) .
- a) Dresser le tableau de variation de f .
r ur
- b) Tracer T et (C f
) ainsi que ses asymptotes dans le repère orthonormé (O ,i , j ) .
- a) Montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle à préciser.
r ur
- Tracer (Cf –1 ) la courbe de f –1 dans le repère (O ,i , j ) .
- Montrer que l’équation f (x )= x admet une solution uniquea Î ]-2 , –1[ .
- a) Expliciter f –1 (x )pour tout x de ]-2 ,0 [ .
- b) Déterminer (f –1)‘ (x )
Exercice.03(04 points)
pour tout x de ]-2 ,0 [ .
On considère la fonction f définie sur ]1,+¥[
par :
f ( x ) = –1 .
x x2 – 1
1) Montrer que f admet au moins une primitive sur ]1,+¥[ .
- Soit F la primitive de f sur ]1,+¥[qui s’annule en 2 .
a) Montrer que F est strictement décroissante sur ]1,+¥[ .
- En déduire le signe de F( x ) sur chacun des intervalles :
|
ù 2 ,+¥é .
ù1, 2 é et
û ë
- Soit G la fonction définie sur ù p é par G( x ) = F( 1 ) .
úû0, 2 êë
sin x
a) Montrer que G est dérivable sur ù p é et déterminer sa fonction dérivée.
úû0, 2 êë
- En déduire que pour tout x de ù p é , G( x ) = x – p .
- Calculer F( 2 ).
Exercice.04(05 points)
úû0, 2 êë
4
→→ →
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k) .
On considère les points
A(1, 0, 2) ,
B(1, 1, 4)
et C(-1,1,1) .
1/ a/ Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b/ En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). c/ Le point F(1,0,4) appartient-il au plan (ABC).
2/ Soient P: 2x + y + 2z + 1 = 0 et Q: x – 2y + 6z = 0 .
a/ Montrer que les plans P et Q sont sécants suivant une droite D dont on déterminera un système d’équations paramétriques.
b/ La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?
.