Devoir de Contrôle N°2 – Math – Bac Toutes Sections (2018-2019)

Devoir de contrôle N°2
2018/2019 MATHEMATIQUES Bac science
Mr BechirFehri Durée : 2H

EXCERCICE N°1 :

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O,𝑖𝑖�⃑, 𝑗𝑗⃑𝐾�⃑ ), on considère les points : A(2,0,0) , B(0,0,2) et (0,2,0)
1/a- Montrer que le (ABC) est un plan dont une équation cartésienne est : x+y + z -2 = 0 b-calculer le volume du tétraèdre OABC.
2/ Montrer que le plan Q passant par le milieu du segment [AC ] et perpendiculaire à la droite (BC) a pour équation cartésienne : y – z – 1 = 0
3/a- Montrer que Q est perpendiculaire à (ABC).
b- caractériser la droite ∆ d’intersection des plan Q et (ABC) 4/Soit 𝛿𝛿 = {M(x, y, z) ∈ Etelquex2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0 } a- Montrer que 𝛿𝛿 est la sphère de diamètre [BC ].
b- Montrer que 𝛿𝛿 et Q sont sécants suivant un cercle 𝜑 que l’on caractérisera.
5/ soit 𝛿𝛿′ la sphère de centre O et contenant le cercle . Calculer le rayon de la sphère 𝛿𝛿′.

EXCERCICE N°2 :

Soit f la fonction définie sur [0,1[ par f(x) =

x
√1−x4 . c’est sa courbe représentative dans

un repère orthonormé (O,i�⃑, ⃑j ),
1/a- Dresser le tableau de variation de f .
b-Déterminer la position de ∁ par rapport à ∆ : y= x c- Tracer ∆ et ∁
2/ Soit F la fonction définie sur [0, π[ par F(x) = ∫√sin x f(t)dt .

2
a- Montrer que F est continue sur [0,

0
π
[ , dérivable sur ] 0,
2

π
[ et calculer F’(x)
2

b- En déduire que pour tout x ∈

[0,

π x
[ on a F(x) =
2 2

c- Trouver alors A de la partie du plan limitée par ∁ et les droites d’équations :
d- y = x ; x= √2 .
2
π π √sin λ √1−t4

3/ soit ∆∈ [ ,
6

2[ .On pose I (λ) =∫√2
2

dt.
t3

a- A l’aide d’un intégration par partie calculer I (λ) .

b- Déterminer limλ

π
(2 )

− I (λ) .

EXCERCICE N°3 :

1 𝑥 2𝑛 +1

Soit ( In ) la suite définie sur N par In= ∫0 1+𝑥 2 dx.
1/,Montrer que la suite ( In ) est décroissante et qu’elle est convergence .
2/ Calculer I0 , I0 + I1 et en déduire I1.

3/a- Montrer que pour tout n ∈N In + In+1 =
1

1
2𝑛+2
1

b- En déduire que pour tout n ∈N
4(𝑛+1)
c- En déduire la limite de In en +∞ .

≤ In ≤

2(𝑛+1)

4/ Soit tout pour tout n ∈ N∗ : 𝑆𝑛

𝑛
𝑘=1

(−1)𝑘+1
.
𝑘

a-Montrer par récurrence que tout n ∈ N∗ : 2(−1)𝑛+1 In = 𝑆𝑛 − 𝑙𝑛2
b- En déduire la limite de 𝑆𝑛 en +∞ .

EXCERCICE N°4 :

I/ soit f la fonction définie sur ] 0, 4 [ par f(x) = √4𝑥−𝑥 2 on désigne par 𝐶𝑓𝑓 sa courbe dans un repère orthonormé (O,𝑖𝑖�⃑, 𝑗𝑗⃑ ).
1/ Montrer que f est dérivable sur ] 0, 4 [ et que f’(x) = 3
(�4𝑥−𝑥 2)
2/ Dresser le tableau de variation de t
3/ Ecrire l’équation de la tangente T au point d’abscisse 2
4/ Montrer que f réalise une bijection de ] 0, 4 [ Sur un intervalle I que l’on précisera. 5/ Tracer 𝐶𝑓𝑓 T et 𝐶𝑓𝑓 −1 dans la même repère .
6/ ∆∶ 𝑦 = 𝑥 coupe 𝐶𝑓𝑓 en un point d’abscisse 𝖺 , 3 <𝖺< 4 Montrer que l’aire en de la partie du plan limitée par la courbe 𝐶𝑓𝑓 T et 𝐶𝑓𝑓 −1 et les droites d’équation x= 0 et y=0 est égale à 𝖺3 −2𝖺−4 𝖺 II/ On donne g(x) 2 – 2cos x n ∈[0,𝜋] 1/ Montrer que g réalise une bijection de [0,𝜋] sur un intervalle K que l’on précisera on note par G sa fonction réciproque . 2/ a- Montrer que G est dérivable sur ]0,4[ tel que G’ (x) = 1 √4𝑥−𝑥 2 b- Montrer que I( 2, 𝜋 2 ) est un centre de symétrie de sa courbe de G