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    4ème année Sciences Mathématiques

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Devoir de contrôle N°3 – Math – Bac Sciences exp (2017 – 2018)

                      I°)  Pour tout n Π    * =        xn   […]

Devoir de contrôle N°3 – Math – Bac Sciences exp (2017 – 2018)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I°)  Pour tout n Π    *

=        xn

 

I   =  1       1    dx

 

1

ℕ   , on pose : In

ò0 1 x2 dx   et     0

ò0 1 + x2

 

  • Etudier la monotonie de la suite (In)

 

  • Montrer pour tout n Î ℕ* , on a :

0 £ In

£   1

n + 1

 

  • Déduire que (In)

converge vers une limite que l’on précisera.

 

 

 

 

II°) Soit

f0     et  f2

les fonctions définies sur ℝ par :

f0 ( x) =

1                                                                     

 

1 + x2

et f2( x) =

x2

 

1 + x2

 

 

 

→ →

dont on a tracé les courbes représentatives  respectives z0

orthonormé (O, i, j)

et z2

dans un repère

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On pose pour tout x Î é- p , p ù ;

F( x)

 

ëê 4  4 úû

 

 

 

1°) a– Montrer que F est dérivable sur

é- p , p ù

et calculer F ¢( x)  pour tout x Î é- p , p ù

 

ëê  4  4 úû                                                                                                                                                                                                                                                   ëê 4  4 úû

 

 

  • Montrer que pour tout x Î é- p , p ù

, on a :

F (x ) = x

 

 

  • Déduire que :

êë

1       1    dx p

4  4 úû

 

ò0 1 + x2                     4

x2       = 1 –      1

 

  • Vérifier que pour tout réel x on a :

x2 + 1           x2 +1

 

1   x2     dx

 

 

  • Déduire la valeur de l’intégrale :

ò0 1 + x2

 

  • Calculer alors l’aire A de la partie du plan limitée par les courbes z0  et  z2

 

2°) A l’aide d’une intégration par parties, calculer le volume V de solide de révolution

 

obtenu par la rotation de l’arc  O‸A = {M (x,y )

de l’axe des abscisses

tel que y f2 (x )

et 0 £ x £ 1de   z2

autour

 

(     )

→ → –→

L’espace est  munie d’un repère orthonormé  i, j,k

 

1°)   Soit S l’ensemble des points M (x,y,z )

Montrer que S est la sphère de centre

vérifiant : x2 + y2 + z24x + 4y 1 = 0

I (2, -2,0 ) et de rayon   R  = 3

 

2°) On considère le plan P dont une équation cartésienne est : 2 x 2y + z 5 = 0

  • Donner une équation cartésienne du plan Q parallèle à P et passant par le point

J (0,3, 1)

  • Montrer que le plan P coupe la sphère S suivant un cercle z dont déterminera les coordonnés du centre H et le rayon
  • Déterminer : Q Ç S

 

 

3°) On considère les points :

A (-1,0,1);  B (1,2,1)

et   C (0,2,3 )

 

 

 

  • Montrer que pour tout point

–––→     –––→ ––––→

M (x,y,z )

de l’espace on a :

 

(AB  Ù AC ).AM

2 (2x – 2y z +1)

 

  • Déterminer l’ensemble des points M de la sphère S pour les quels le volume du tétraèdre ABCM est égale à

 

Une enquête faite sur les élèves d’une classe. Les élèves répondent par oui ou non aux questions suivantes :

  • Aimez vous le cinéma ?
  • Aimez vous le théâtre ?

40 °/° des élèves répondent par oui pour la première question et 20 °/° par oui pour deuxième question ce pendant 15 °/° répondent par oui la première et la deuxième questions à la fois.

On désigne par : C << l’élève aime le cinéma>> et par : T<< l’élève aime le théâtre >>

1°) a– Les événements C et T sont-ils indépendants ? Justifier.

  • Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma ou le théâtre .
  • Calculer la probabilité pour que l’élève n’aime ni le cinéma, ni le théâtre

2°) a– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma et n’aime pas le théâtre .

b– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma ou le théâtre mai pas les deux.

3°) a– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le théâtre sachant qu’il aime le cinéma .

b– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma sachant qu’il n’aime pas le théâtre.

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