I°) Pour tout n Î * = xn […]
I°) Pour tout n Î *
= xn
I = 1 1 dx
|
ℕ , on pose : In
ò0 1 + x2 dx et 0
ò0 1 + x2
- Etudier la monotonie de la suite (In)
- Montrer pour tout n Î ℕ* , on a :
0 £ In
£ 1
n + 1
- Déduire que (In)
converge vers une limite que l’on précisera.
II°) Soit
f0 et f2
les fonctions définies sur ℝ par :
f0 ( x) =
1
1 + x2
et f2( x) =
x2
1 + x2
|
dont on a tracé les courbes représentatives respectives z0
orthonormé (O, i, j)
et z2
dans un repère
On pose pour tout x Î é- p , p ù ;
F( x)
ëê 4 4 úû
1°) a– Montrer que F est dérivable sur
é- p , p ù
et calculer F ¢( x) pour tout x Î é- p , p ù
ëê 4 4 úû ëê 4 4 úû
- Montrer que pour tout x Î é- p , p ù
, on a :
F (x ) = x
- Déduire que :
êë
1 1 dx = p
4 4 úû
ò0 1 + x2 4
x2 = 1 – 1
- Vérifier que pour tout réel x on a :
x2 + 1 x2 +1
1 x2 dx
- Déduire la valeur de l’intégrale :
ò0 1 + x2
- Calculer alors l’aire A de la partie du plan limitée par les courbes z0 et z2
2°) A l’aide d’une intégration par parties, calculer le volume V de solide de révolution
obtenu par la rotation de l’arc O‸A = {M (x,y )
de l’axe des abscisses
tel que y = f2 (x )
et 0 £ x £ 1} de z2
autour
|
→ → –→
L’espace est munie d’un repère orthonormé i, j,k
1°) Soit S l’ensemble des points M (x,y,z )
Montrer que S est la sphère de centre
vérifiant : x2 + y2 + z2 – 4x + 4y –1 = 0
I (2, -2,0 ) et de rayon R = 3
2°) On considère le plan P dont une équation cartésienne est : 2 x – 2y + z – 5 = 0
- Donner une équation cartésienne du plan Q parallèle à P et passant par le point
J (0,3, –1)
- Montrer que le plan P coupe la sphère S suivant un cercle z dont déterminera les coordonnés du centre H et le rayon
- Déterminer : Q Ç S
3°) On considère les points :
A (-1,0,1); B (1,2,1)
et C (0,2,3 )
- Montrer que pour tout point
–––→ –––→ ––––→
M (x,y,z )
de l’espace on a :
(AB Ù AC ).AM
= 2 (2x – 2y + z +1)
- Déterminer l’ensemble des points M de la sphère S pour les quels le volume du tétraèdre ABCM est égale à
Une enquête faite sur les élèves d’une classe. Les élèves répondent par oui ou non aux questions suivantes :
- Aimez vous le cinéma ?
- Aimez vous le théâtre ?
40 °/° des élèves répondent par oui pour la première question et 20 °/° par oui pour deuxième question ce pendant 15 °/° répondent par oui la première et la deuxième questions à la fois.
On désigne par : C << l’élève aime le cinéma>> et par : T<< l’élève aime le théâtre >>
1°) a– Les événements C et T sont-ils indépendants ? Justifier.
- Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma ou le théâtre .
- Calculer la probabilité pour que l’élève n’aime ni le cinéma, ni le théâtre
2°) a– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma et n’aime pas le théâtre .
b– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma ou le théâtre mai pas les deux.
3°) a– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le théâtre sachant qu’il aime le cinéma .
b– Calculer la probabilité pour que l’élève aime le cinéma sachant qu’il n’aime pas le théâtre.