NB : Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction et à la présentation.

Exercice n°1 : ( 6 pts )

On considère plusieurs sacs

S1 ,

S₂ ,……. Sn

tels que :

• Le premier sac S₁ contient deux boules blanches et trois boules noires.

• Chacun des sacs

S2 ,

S₃ ,…… Sn

contient deux boules blanches et deux boules noires.

• On tire au hasard une boule de

S1 .

• On place la boule tirée de
• On place la boule tirée de

S1   dans

S2  dans

S₂ , puis on tire au hasard une boule de

S₃ , puis on tire au hasard une boule de

S2 .

S3 .

Pour tout entier

n ³ 1, on note Bn

l’événement : « la boule tirée de Sn

est blanche ».

Et on note

pn   la probabilité de l’événement

Bn , ainsi

p_n = p (B_n ) .

• 𝑎/ Calculer

𝑏/ Calculer

p₁ = p (B₁ ) ,

p₂ = p (B₂ ) .

p (B₂ / B₁ ) et

p (B₂ / B1 ).

• A l’aide d’un arbre pondéré, montrer que : p

= 1 p

+ 2 .

• On pose pour tout

n ³ 1, q = p – 1 .

n+1

5   ⁿ    5

n              n         2

𝑎/ Montrer que la suite (q_n ) est une suite géométrique.

𝑏/ Exprimer qn

puis

pn   en fonction de n.

𝑐/ En déduire lim

n® +¥

pn .

• Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on : 0, 4999 £ pn £ 0,5 ?

Exercice n°2 : ( 6 pts)

Soit U la suite définie sur IN par :

ìïU₀ = 1

í

ïîUn+1  =

pout tout n Î IN .

• 𝑎/ Exprimer U₁

et U 2

sous forme d’une puissance de e.

𝑏/ Montrer, par récurrence, que pour tout n Î IN , 1 £ Un  £ e .

𝑐/ Montrer que la suite U est croissante.

𝑑/ En déduire que U est convergente vers e.

• Soit V la suite définie sur IN par : V_n =1-ln(U_n) .

𝑎/ Montrer que V est une suite géométrique de raison  1 .

2

𝑏/ Exprimer V_n

puis Un

en fonction de n, puis retrouver lim U .

n®+¥

• On pose, pour tout

n Î IN^* ,  W

n-1

=      ln U

et T

= U ´U

´……´U        .

n                        k

k =0

æ

n                   0                 1

æ 1 ön ö

n-1

𝑎/ Montrer que pour tout

n ΠIN* , Wn = n – 2ç1- ç    ÷ ÷ .

è     è 2 ø ø

𝑏/ En déduire l’expression de

Exercice n°3 : ( 8 pts)

T  en fonction de n, puis calculer lim          .

n®+¥

Dans l’annexe ci-jointe page 3, on a représenté, dans un repère orthonormé  (O , i , j ) , la courbe

représentativeC d’une fonction f définie sur IR par : positifs.

On admet que :

f ( x) = (a + be^–x )2 , où a et b sont deux réels

• La droite

D : y =1 est une asymptote deC au voisinage de +¥ .

• T est la tangente à C au point

I æ ln 2 , 9 ö et de coefficient directeur æ – 3 ö .

ç         4 ÷                                                ç 2 ÷

è            ø                                                è      ø

• 𝑎/ Déterminer

f (0),

f ‘(ln 2) et

lim

x®+¥

f ( x) .

𝑏/ Ecrire une équation de T.

𝑐/ Calculer a et b.

• Dans la suite de l’exercice, on admet que :

𝑎/ Dresser le tableau de variations de f.

f ( x) = (1+ e^–x )2 .

𝑏/ Montrer que f réalise une bijection de IR sur ]1, +¥[ .

𝑐/ Montrer que, pour tout

x Î]1, +¥[, f ^–1 ( x) = -ln(

-1).

𝑑/ Tracer la courbeC ’ de

f -1

dans le repère (O , i , j )

de la feuille annexe.

• Soit A l’aire, exprimer en unité d’aire, de la partie du plan limitée par la courbeC , l’axe des

abscisses et les droites d’équations :

x = 0 et

x = ln 2 .

𝑎/ Développer

f (x)

puis déterminer une primitive F de f sur IR.

𝑏/ Montrer que : A

= 11 + ln 2 .

8

𝑐/ En déduire la valeur de l’intégrale

⁴ ln(

4

-1)dx .

FEUILLE ANNEXE à RENDRE AVEC LA COPIE