Lycée S.C.J Gafsa

A /S 2016-2017

DEVOIR DE CONTROLE N°3

Prof :Mr ,Slimen .L

Niveau : 4^è𝑚𝑒𝑇₃

Exercice N°1                                                                                                             (3pts) :

Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses est exacte. Indiquer la bonne réponse :

• La valeur moyenne de la fonction 𝑓(𝑥) = ^{ln 𝑥}

𝑥

sur [1, e] est égale :

1. a) 2(𝑒 + 1) b) 𝑒 − 1 c)      ¹ 2(𝑒−1)

• La solution de l’équation dans ℝ 3^𝑥 = 2 est : a)𝑥 = ²

3

b)𝑥 = ln ²

3

c)𝑥 = ^{ln 2}

ln 3

• Soit (Ω, 𝑝(Ω), 𝑝) un espace probabiliste A et B deux évènements indépendants tel que 𝑝(𝐴) = 0,2 et

𝑝(𝐵) = 0,6 alors :

a-𝑝(𝐴 𝖴 𝐵) = 0,76                                                                 b) 𝑝(𝐴 𝖴 𝐵) = 1                                 c) 𝑝(𝐴 𝖴 𝐵) = 0,68

Exercice N°2                                                                                                                 (7pts) :

−𝑥

Soit la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = (−2𝑥 − 4)𝑒 repère (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗)

Partie A

2 + 2 − 𝑥 et 𝜉_𝑓 sa courbe représentative dans le plan muni d’un

𝑥

Pour tout réel 𝑥, on considère la fonction 𝑔 définie par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑒2 .

• Etudier les variations de la fonction 𝑔.
• En déduire le signe de 𝑔(𝑥) pour tous les valeurs 𝑥 . Partie B
• Calculer la limite de 𝑓 en −∞ et +∞.
• Calculer lim [𝑓(𝑥) − (2 − 𝑥)] puis interpréter graphiquement la résultat .

𝑥→+∞

𝑥

3)Calculer 𝑓′(𝑥) et monter que 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑒 2

• En déduire le sens de variations de 𝑓.
• Déterminer les coordonnées du point A intersection de 𝜉_𝑓 de 𝑓 et de son asymptote 𝛥.En déduire la position relatives de 𝜉_𝑓 et 𝛥.
• Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une solution unique 𝜆 dans ℝ et que −2 < 𝜆 < −1. 7)Donner une équation de la tangente (𝑇) à 𝜉_𝑓 au point d’abscisse 0.
• Tracer 𝜉_𝑓 et 𝛥 dans un repère (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗) .
• Calculer l’aire de la partie du plan limitée par 𝜉_𝑓 et, 𝛥 et les droites d’équation 𝑥 = −2, 𝑥 =

Exercice N°3                                                                                                                    (4pts) :

• On donne l’intégrale suivant 𝐾 = ∫1 𝑥2

𝑑𝑥.

a-Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ [0, +∞[ on a : ^𝑥2

𝑥+2

= 𝑥 − 2 +  ⁴

𝑥+2

b- En déduire la valeur de K.

• On considère les intégrales I et J suivantes 𝐼 = ∫ln 16 𝑒𝑥+3 𝑑𝑥 et 𝐽 = ∫ln 16 1

𝑑𝑥

0

a-Calculer 𝐼 + 𝐽 et 𝐼 − 3𝐽.

b- En déduire les valeurs exacte de I et J exacte

𝑒𝑥+4

0            𝑒𝑥+4

Exercice N°4                                                                                                                       (6pts) :

Un sondage effectué auprès des automobilistes ayant effectué un trajet reliant deux villes V et V’ montre que 60% des automobilistes transportent des enfants et que parmi ceux-ci 85% se sonts arrétes une fois au cours de trajet

, alors que 70% automobilistes voyages sans enfants ne sont pas arrêtés . On interroge au hasard un automobiliste. On note :

A l’événement « l’automobiliste interrogé s’est arrêté au moins une fois » E l’événement « l’automobiliste interrogé transporte des enfants »

• Construire l’arbre pondéré décrivant la

• Préciser les probabilités suivantes :𝑃(𝐸) , 𝑃(𝐴/𝐸) et 𝑃(𝐴/𝐸).

« A/E désigne l’événement A sachant que E réalisé et 𝐸 est l’évènement contraire de E ». 3)Calculer les probabilités 𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) et 𝑃(𝐴).

4)Calculer la probabilités qu’un automobiliste transporte des enfants sachant qu’il ne s’est pas arrêté.