Exercice 1 ( 5 pts)

( Le sujet comporte 5 page numérotées de 1/5 à 5/5)

On muni le plan du repère orthonormé direct  (𝑂,𝑢¯⃗,𝑣⃗).On donne les points B(2;0) et C(0;3)

(Voir Annexe)

On considère la similitude directe 𝑓 qui envoie B en O et O en C .

1. Déterminer le rapport et l’angle de 𝑓.
2. On désigne par H le centre de 𝑓.
   1. Montrer que H appartient au cercle de diamètre [OB].
   2. Déterminer 𝑓𝑜𝑓(𝐵). En déduire que H appartient à la droite (BC) puis construire
3. Montrer que la forme  complexe de f est 𝑧^u = − 3 𝑖𝑧 + 3𝑖  avec 𝑧 l’affixe d’un point M et  𝑧′

2

l’affixe d’un point M’ l’image de M par 𝑓.

4. On considère la parabole P d’équation 𝑃: 𝑦² − 4𝑦 − 2𝑥 = 0
   1. Déterminer les coordonnées de son foyer F et l’équation de sa directrice (D) .
   2. Vérifier que O appartient à P et donner une équation de la tangente 𝑇 à 𝑃en
   3. Construire 𝑇 et 𝑃 dans le repère (𝑂,𝑢¯⃗,𝑣⃗) .

5) déterminer une équation de P’ l’image de P par 𝑓.

E xercice 2 ( 4 pts)

On considère la suite (𝑢n) définie pour tout entier non nul n par : 𝑢n = 2ⁿ + 3ⁿ + 6ⁿ − 1

• Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 𝑢n est
• Montrer que , pour tout entier naturel n pair non nul, 𝑢n est divisible par
• Soit p un nombre premiers strictement supérieur a

1. a) Montrer que 6× 2^p–2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑𝑝) et 6× 3^p–2 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑𝑝)
2. b) En déduire que 6× 𝑢p–2 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
3. c) Montrer alors que p divise 𝑢p–2.

• On considère le nombre 𝑁 = 499⁶⁹ + 27²³ + 6⁶⁹ − 4

Déterminer le reste de N modulo 71.

 Exercice 3 (4 pts)

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, on pose : U =

1 dt

et V =

1 ntn

dt.

n        ∫O  1+tn                     n        ∫O 1+tn

1.a) Calculer 𝑈1 et vérifier que pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗ :    𝑉n + 𝑛𝑈n = 𝑛.

1. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ et 𝑡 ∈ ℝ⁺ : 1 − 𝑡ⁿ ≤      1

1+tn

≤ 1.

1. En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ : 1 − 1

1+n

≤ Un

≤ 1 et calculer la limite de (Un).

2.a) En utilisant une intégration par parties, Montrer que pour 𝑛 ∈ ℕ^∗ :

1

Vn = ln2 − ƒ ln (1 + tⁿ)dt O

1. Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ ℝ⁺ : 0 ≤ ln (1 + 𝑥) ≤ 𝑥.

1. En déduire pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗ : 0 ≤

¹ ln (1 + 𝑡ⁿ)𝑑𝑡 ≤ 1 .

O                                          n+1

1. Calculer la limite de la suite (𝑉n) et En déduire que lim

n⟼+œ

𝑛(1 − 𝑈n) = 𝑙𝑛2.

E xercice 4 ( 7 pts)

Le plan est muni d’un repère (O,𝚤⃗, 𝚥⃗).

• Montrer que pour tout réel 𝑥 non nul,

ex–1 s

> 0.

f(x) = ln (ex–1) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

• On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par {

1. Montrer que 𝑓 est continue en

s

𝑓(0) = 0

1. Montrer que lim

s→+∞

𝑓(𝑥) = +∞ puis déterminer lim

s→–∞

𝑓(𝑥).

• On admet que 𝑓 est dérivable sur ℝ.

• Montrer que pour tout 𝑥 réel non nul, 𝑓^u(𝑥) = sex–ex+1

s(e –1)

1. Les courbes (𝐶1) et (𝐶2) sur l’annexe (page 4/5) représente les fonctions 𝑔 et ℎ définies sur ℝ

Par 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒^s et ℎ(𝑥) = 𝑒^s − 1 .

*Identifier la représentation graphique de chacune des fonctions 𝑔 et ℎ.

*Donner graphiquement le signe de 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)

*En déduire le signe de 𝑓^u(𝑥) pour tout réel 𝑥 non nul.

1. Vérifie que, pour tout réel 𝑥,𝑓(𝑥)− 𝑥 = 𝑓(−𝑥).

*En déduire que 𝑓^u(0) = 1

2

** Déduire aussi le singe de 𝑓(𝑥) − 𝑥 pour 𝑥 de ]0, +∞[ .

1. Dresser le tableau de variation de 𝑓.

1. Tracer (𝐶ƒ) ( sur l’annexe page 5)

• On considère la suite (𝑈n) définie par son premier terme 𝑈O> 0

et pour tout entier naturel n,    𝑈n+1 = 𝑓(𝑈n) .

1. Montrer que pour tout entier n, 𝑈n > 0.
2. Montrer que la suite (𝑈n) est décroissante.
3. En déduire que (𝑈n) est converge et préciser sa

• On pose pour tout entier naturel n, 𝑉n La valeur moyenne de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0, 𝑈n]

Montrer que pour tout entier naturel n,    0 ≤ 𝑉n ≤ 𝑈n . En déduire la limite de (𝑉n)

 Annexe

E xercice 1

  Exercice 4

 Exercice 4