Devoir de Synthèse N°1 – Math – Bac Math (2018-2019)

( Le sujet comporte 5 page numérotées de 1/5 à 5/5)
Exercice 1 ( 5 pts)
On muni le plan du repère orthonormé direct (𝑂,𝑢¯⃗,𝑣⃗).On donne les points B(2;0) et C(0;3)
(Voir Annexe)
On considère la similitude directe 𝑓 qui envoie B en O et O en C .
1. Déterminer le rapport et l’angle de 𝑓.
2. On désigne par H le centre de 𝑓.
a) Montrer que H appartient au cercle de diamètre [OB].
b) Déterminer 𝑓𝑜𝑓(𝐵). En déduire que H appartient à la droite (BC) puis construire H.
3. Montrer que la forme complexe de f est 𝑧’ = − 3 𝑖𝑧 + 3𝑖 avec 𝑧 l’affixe d’un point M et 𝑧′
2
l’affixe d’un point M’ l’image de M par 𝑓.
4. On considère la parabole P d’équation 𝑃: 𝑦2 − 4𝑦 − 2𝑥 = 0
a) Déterminer les coordonnées de son foyer F et l’équation de sa directrice (D) .
b) Vérifier que O appartient à P et donner une équation de la tangente 𝑇 à 𝑃en O.
c) Construire 𝑇 et 𝑃 dans le repère (𝑂,𝑢¯⃗,𝑣⃗) .
5) déterminer une équation de P’ l’image de P par 𝑓.
Exercice 2 ( 4 pts)
On considère la suite (𝑢n) définie pour tout entier non nul n par : 𝑢n = 2n + 3n + 6n − 1
1) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 𝑢n est pair.
2) Montrer que , pour tout entier naturel n pair non nul, 𝑢n est divisible par 4.
3) Soit p un nombre premiers strictement supérieur a 3.
a) Montrer que 6× 2p–2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑𝑝) et 6× 3p–2 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑𝑝)
b) En déduire que 6× 𝑢p–2 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
c) Montrer alors que p divise 𝑢p–2.
4) On considère le nombre 𝑁 = 49969 + 2723 + 669 − 4
Déterminer le reste de N modulo 71.

Exercice 3 (4 pts)

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, on pose : U =

1 dt

et V =

1 ntn

dt.

n ∫0 1+tn n ∫0 1+tn
1.a) Calculer 𝑈1 et vérifier que pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ : 𝑉n + 𝑛𝑈n = 𝑛.

b) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ et 𝑡 ∈ ℝ+ : 1 − 𝑡n ≤ 1
1+tn

≤ 1.

c) En déduire que pour tout n ∈ ℕ∗ : 1 − 1
1+n

≤ Un

≤ 1 et calculer la limite de (Un).

2.a) En utilisant une intégration par parties, Montrer que pour 𝑛 ∈ ℕ∗ :
1
Vn = ln2 − ƒ ln (1 + tn)dt 0
b) Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ ℝ+ : 0 ≤ ln (1 + 𝑥) ≤ 𝑥.

c) En déduire pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ : 0 ≤

1 ln (1 + 𝑡n)𝑑𝑡 ≤ 1 .

0 n+1

d) Calculer la limite de la suite (𝑉n) et En déduire que lim
n⟼+∞

𝑛(1 − 𝑈n) = 𝑙𝑛2.

Exercice 4 ( 7 pts)
Le plan est muni d’un repère (O,𝚤⃗, 𝚥⃗).

1) Montrer que pour tout réel 𝑥 non nul,

ex–1 x

> 0.
f(x) = ln (ex–1) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

2) On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par {

a) Montrer que 𝑓 est continue en 0.

x
𝑓(0) = 0

b) Montrer que lim
x→+∞

𝑓(𝑥) = +∞ puis déterminer lim
x→–∞

𝑓(𝑥).

3) On admet que 𝑓 est dérivable sur ℝ.
a) Montrer que pour tout 𝑥 réel non nul, 𝑓'(𝑥) = xex–ex+1
x(e –1)
b) Les courbes (𝐶1) et (𝐶2) sur l’annexe (page 4/5) représente les fonctions 𝑔 et ℎ définies sur ℝ
Par 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒x et ℎ(𝑥) = 𝑒x − 1 .
*Identifier la représentation graphique de chacune des fonctions 𝑔 et ℎ.
*Donner graphiquement le signe de 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)
*En déduire le signe de 𝑓'(𝑥) pour tout réel 𝑥 non nul.
c) Vérifie que, pour tout réel 𝑥,𝑓(𝑥) − 𝑥 = 𝑓(−𝑥).
*En déduire que 𝑓'(0) = 1
2
** Déduire aussi le singe de 𝑓(𝑥) − 𝑥 pour 𝑥 de ]0, +∞[ .
d) Dresser le tableau de variation de 𝑓.

e) Tracer (𝐶ƒ) ( sur l’annexe page 5)
4) On considère la suite (𝑈n) définie par son premier terme 𝑈0 > 0
et pour tout entier naturel n, 𝑈n+1 = 𝑓(𝑈n) .
a) Montrer que pour tout entier n, 𝑈n > 0.
b) Montrer que la suite (𝑈n) est décroissante.
c) En déduire que (𝑈n) est converge et préciser sa limite.
5) On pose pour tout entier naturel n, 𝑉n La valeur moyenne de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0, 𝑈n]
Montrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ 𝑉n ≤ 𝑈n . En déduire la limite de (𝑉n)