L –    Mateur	Devoir de synthèse    n°1	Classe : 4M2
Prof : MrAmri P        P	16 / 12 / 2020	RDurée : 3 H

 

N.B : Le sujet comporte (03) pages .

Il sera tenu compte de la bonne rédaction et la présentation  de la copie

 

Exercice n°1(4points)

 

 

Soit q un réel de

é0 , p é

et (E

) l’équation

z³ – (1 – 2 sinq ) z² + (1 – 2 sinq ) z

– 1 = 0

 

ëê     2 êë                      q

 

 

• a) Vérifier que

z₀ = 1 est une solution de (E_q ) . Résoudre dans  l’ équation (E_q )

 

 

 

1. b) Donner les solutions sous forme

• Dans le plan rapporté à un repère orthonormé é (

→ →

)

O , u , v

 

 

 

On considère les points

A , M1

et M 2

d’affixes respectives

z0   , z1

et z1

avec

z₁ = -sinq

• i cosq

 

 

 

1. Montrer que

AM1 M 2

est un triangle isocèle.

 

 

 

1. Déterminer q pour que

AM1 M 2

soit triangle équilatéral

 

• Utiliser ce qui précède pour résoudre dans  l’équation

Exercice n°2(5points)

z⁶ – (1 –

2 ) z⁴ + (1 –

2 ) z² – 1 = 0

 

 

–––→     –––→         p

 

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que ( AB

, AC ) º

[2p ]

3

et     I

= A * C

. La bissectrice

 

AB

, AC

intérieure de (–––→    –––→ ) coupe ( BC ) en J

 

 

On désigne par

t–––→  la translation de vecteur

–––→ .  R la rotation de centre A et d’angle dont une mesure

 

AC

est

æ –2p ö et D la parallèle à ( IJ )

passant par A

 

AC

ç   3 ÷

è        ø

• Montrer que( IJ ) est la médiatrice de [ AC]

 

 

• Vérifier que

t

–––→

AC

= S( IJ ) ∘ SD

 

 

 

• a) Définir la droite

D^‘ vérifiant

R = SD   ∘ SD’

 

 

 

AC

1. b) Déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie

t–––→ ∘ R

 

• Soit

f = g ∘ S( IJ )

où g

= ræ

–2p ö

 

ç J ,  3   ÷

è            ø

 

1. Montrer que f fixe le point C

 

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f

 

 

• soit

h = SA ∘ S(IJ )

où SA  la symétrie centrale de centre A

 

 

Montrer que h est une symétrie glissante dont on déterminera  l’axe et le vecteur

• Déterminer toutesles isométries qui laissent  globalement invariant le segment [ AC]

Exercice n° 3(5points)

 

 

Pour tout entier naturel n , on considère le polynôme

Pn définie sur  par :

 

Pn ( x) =

xⁿ + x^n–1 + x^n–2………………. + x²

+ x – 1

 

 

 

• Montrer que

” n ³ 2   ;

P_n admet une racine et une seule dans l’intervalle ]0 ,1[ , On note

a_n l’unique

 

racine de

P_n dans ]0 ,1[ , on a alors

P_n (an ) = 0

 

 

n³2

L’unicité de a_n permet de définir une suite (an )

 

 

• a) Montrer que

” x Î ^*

; on a     Pn+1

( x)  P_n ( x)

 

 

 

+

• En déduire que

]0 ,a_n [

Pn+1 (an )  0

et que la racine a_n+1

de Pn+1

est nécessairement dans l’intervalle

 

 

n³2

• Endéduireque la suite  (an )     est strictement décroissante

 

 

• a) Montrer que” Î

{ }    ”    ³

( ) = 1 – xn+1 –

 

x     / 1

et      n

2 ; on a     Pn  x

1 – x      2

 

 

1. En déduire que “n ³ 2  ; 2an – (a )     – 1 = 0

n+1

 

 

n

• Montrer que

” n ³ 2

on a

0 £ (a  )n  £ (a  )n

 

 

 

n                       2

• En déduire que

lim

x®+¥

(a_n ) = 0

 

 

 

1. Déduireque  (an

) est convergente vers 1

2

 

 

 

Exercice n° 4(6points)

Soit f la fonction définie sur [1, +¥[ par :

 

 

f ( x) = x –

 

x² – 1

 

• a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat graphiquement

1. b) Dresser le tableau de variation de f

 

 

• a) Montrer que f réalise une bijection de I sur

J = ]0 ,1[ . On note g la bijection réciproque de f

 

 

 

1. Expliciter

g( x)

pour tout x Î]0 ,1[

 

 

1. Tracer les courbes z

et z ^‘ respectivement de f et g dans un repère orthonormé (

→ →

)

O ,i , j

 

 

1           ìh( x) = f æ     1     ö    si x Îù0 , 1 ù

 

• Soit la fonction h définie sur

é0 ,    ù par ï              ç sinp x ÷               úû

2 úû

 

ëê    2 úû

í               è           ø

ïîh(0) = 0

 

 

 

1. Montrer que h est continue sur

é0 , 1 ù

 

ëê    2 úû

 

1. Vérifier que ” x Î é0 , 1 ù ; h( x) = tan æ p  x ö

 

ëê      2 úû

ç 2    ÷

 

 

 

1. Montrer que h réalise une bijection de

è        ø

 

é0 , 1 ù

 

sur un intervalle k que l’on précisera

 

êë    2 úû

 

 

1. Montrer que

h^–1 est dérivable sur k et expliciter  (h^–1 )’ ( x)

 

 

 

n

å

• Soit (a)et (b ) les suites définies par : a     = 1         1

et b   = 1

 

n

(

)

f      k     avec n ³ 2

 

n

n                  n                                                           n

k =1        k

å

k =1

 

 

 

n

• Vérifier que

” k ³ 2

on a   f (

k ) =

k –  k – 1 en déduire que (b_n ) est convergente et donner sa limite

 

 

 

1. Montrer que “

k ³ 2

on a

1    £ f (

1

2   k

k ) £

2

1

k – 1

En déduire que

 

 

 

” n ³ 2

on a

2bn + n

£ an  £ 2 bn  +

1

n

 

1. Montrer alors que (a_n ) estconvergente et donner sa limite

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BON TRAVAIL