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    4ème année Sciences Mathématiques

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Devoir de Synthèse N°1 – Math – Bac Mathématiques (2020-2021)

L – Mateur Devoir de synthèse n°1 Classe : 4M2 Prof : MrAmri P P 16 / 12 / 2020 […]

Devoir de Synthèse N°1 – Math – Bac Mathématiques (2020-2021)

L – Mateur Devoir de synthèse n°1 Classe : 4M2
Prof : MrAmri
P P 16 / 12 / 2020 RDurée : 3 H

N.B : Le sujet comporte (03) pages .
Il sera tenu compte de la bonne rédaction et la présentation de la copie

Exercice n°1(4points)

Soit  un réel de

0 ,  

et E

 l’équation

z3  1  2 sin  z2  1  2 sin  z

 1  0

 2  

1) a) Vérifier que

z0  1 est une solution de E  . Résoudre dans  l’ équation E 

b) Donner les solutions sous forme exponentielle.
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé é 

→ →
O , u , v

On considère les points

A , M1

et M 2

d’affixes respectives

z0 , z1

et z1

avec

z1  sin

 i cos

a) Montrer que

AM1 M 2

est un triangle isocèle.

b) Déterminer  pour que

AM1 M 2

soit triangle équilatéral

3) Utiliser ce qui précède pour résoudre dans  l’équation
Exercice n°2(5points)

z6  1 

2  z4  1 

2  z2  1  0

–––→ –––→ 

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que  AB

, AC  

2 
3

et I

 A  C

. La bissectrice

intérieure de –––→ –––→  coupe  BC  en J

On désigne par

t–––→ la translation de vecteur

–––→ . R la rotation de centre A et d’angle dont une mesure

est

 2  et  la parallèle à  IJ 

passant par A

 3 
 
1) Montrer que  IJ  est la médiatrice de  AC

2) Vérifier que

–––→
AC

 S IJ  ∘ S

3) a) Définir la droite

’ vérifiant

R  S ∘ S’

b) Déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie

t–––→ ∘ R

4) Soit

f  g ∘ S IJ 

où g

 r

2 

 J , 3 
 

a) Montrer que f fixe le point C

b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f

5) soit

h  SA ∘ SIJ 

où SA la symétrie centrale de centre A

Montrer que h est une symétrie glissante dont on déterminera l’axe et le vecteur
6) Déterminer toutes les isométries qui laissent globalement invariant le segment  AC
Exercice n° 3(5points)

Pour tout entier naturel n , on considère le polynôme

Pn définie sur  par :

Pn ( x) 

xn  xn1  xn2  x2

 x  1

1) Montrer que

 n  2 ;

Pn admet une racine et une seule dans l’intervalle 0 ,1 , On note

n l’unique

racine de

Pn dans 0 ,1 , on a alors

Pn n   0

L’unicité de n permet de définir une suite n 

2) a) Montrer que

 x  *

; on a Pn1

 x  Pn  x

b) En déduire que
0 ,n 

Pn1 n   0

et que la racine n1

de Pn1

est nécessairement dans l’intervalle

c) En déduire que la suite n  est strictement décroissante

3) a) Montrer que 

   

   1  xn1 

x  / 1

et n

2 ; on a Pn x

1  x 2

b) En déduire que  n  2 ; 2n     1  0
n1

c) Montrer que

 n  2

on a

0   n   n

d) En déduire que

lim
x

n   0

e) Déduire que n

 est convergente vers 1
2

Exercice n° 4(6points)
Soit f la fonction définie sur 1,  par :

f ( x)  x 

x2  1

1) a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat graphiquement
b) Dresser le tableau de variation de f

2) a) Montrer que f réalise une bijection de I sur

J  0 ,1 . On note g la bijection réciproque de f

b) Expliciter

g( x)

pour tout x 0 ,1

c) Tracer les courbes 

et  ‘ respectivement de f et g dans un repère orthonormé 

→ →
O ,i , j

1 h( x)  f  1  si x 0 , 1 

3) Soit la fonction h définie sur

0 ,  par   sin x  

2 

 2 

  
h(0)  0

a) Montrer que h est continue sur

0 , 1 

 2 

b) Vérifier que  x   0 , 1  ; h( x)  tan   x 

 2 

 2 

c) Montrer que h réalise une bijection de

 

0 , 1 

sur un intervalle k que l’on précisera

 2 

d) Montrer que

h1 est dérivable sur k et expliciter h1 ’  x

4) Soit a  et b  les suites définies par : a  1 1

et b  1

n
f k avec n  2

n n n

k 1 k


k 1

a) Vérifier que

 k  2

on a f (

k ) 

k  k  1 en déduire que bn  est convergente et donner sa limite

b) Montrer que 

k  2

on a

1  f (
2 k

k ) 
2

1
k  1

En déduire que

 n  2

on a

2bn  n

 an  2 bn 
n

c) Montrer alors que an  est convergente et donner sa limite

BON TRAVAIL

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