L – Mateur Devoir de synthèse n°1 Classe : 4M2 Prof : MrAmri P P 16 / 12 / 2020 […]
L – Mateur Devoir de synthèse n°1 Classe : 4M2
Prof : MrAmri
P P 16 / 12 / 2020 RDurée : 3 H
N.B : Le sujet comporte (03) pages .
Il sera tenu compte de la bonne rédaction et la présentation de la copie
Exercice n°1(4points)
Soit un réel de
0 ,
et E
l’équation
z3 1 2 sin z2 1 2 sin z
1 0
2
1) a) Vérifier que
z0 1 est une solution de E . Résoudre dans l’ équation E
b) Donner les solutions sous forme exponentielle.
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé é
→ →
O , u , v
On considère les points
A , M1
et M 2
d’affixes respectives
z0 , z1
et z1
avec
z1 sin
i cos
a) Montrer que
AM1 M 2
est un triangle isocèle.
b) Déterminer pour que
AM1 M 2
soit triangle équilatéral
3) Utiliser ce qui précède pour résoudre dans l’équation
Exercice n°2(5points)
z6 1
2 z4 1
2 z2 1 0
–––→ –––→
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB
, AC
2
3
et I
A C
. La bissectrice
intérieure de –––→ –––→ coupe BC en J
On désigne par
t–––→ la translation de vecteur
–––→ . R la rotation de centre A et d’angle dont une mesure
est
2 et la parallèle à IJ
passant par A
3
1) Montrer que IJ est la médiatrice de AC
2) Vérifier que
–––→
AC
S IJ ∘ S
3) a) Définir la droite
’ vérifiant
R S ∘ S’
b) Déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie
t–––→ ∘ R
4) Soit
f g ∘ S IJ
où g
r
2
J , 3
a) Montrer que f fixe le point C
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f
5) soit
h SA ∘ SIJ
où SA la symétrie centrale de centre A
Montrer que h est une symétrie glissante dont on déterminera l’axe et le vecteur
6) Déterminer toutes les isométries qui laissent globalement invariant le segment AC
Exercice n° 3(5points)
Pour tout entier naturel n , on considère le polynôme
Pn définie sur par :
Pn ( x)
xn xn1 xn2 x2
x 1
1) Montrer que
n 2 ;
Pn admet une racine et une seule dans l’intervalle 0 ,1 , On note
n l’unique
racine de
Pn dans 0 ,1 , on a alors
Pn n 0
L’unicité de n permet de définir une suite n
2) a) Montrer que
x *
; on a Pn1
x Pn x
b) En déduire que
0 ,n
Pn1 n 0
et que la racine n1
de Pn1
est nécessairement dans l’intervalle
c) En déduire que la suite n est strictement décroissante
3) a) Montrer que
1 xn1
x / 1
et n
2 ; on a Pn x
1 x 2
b) En déduire que n 2 ; 2n 1 0
n1
c) Montrer que
n 2
on a
0 n n
d) En déduire que
lim
x
n 0
e) Déduire que n
est convergente vers 1
2
Exercice n° 4(6points)
Soit f la fonction définie sur 1, par :
f ( x) x
x2 1
1) a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat graphiquement
b) Dresser le tableau de variation de f
2) a) Montrer que f réalise une bijection de I sur
J 0 ,1 . On note g la bijection réciproque de f
b) Expliciter
g( x)
pour tout x 0 ,1
c) Tracer les courbes
et ‘ respectivement de f et g dans un repère orthonormé
→ →
O ,i , j
1 h( x) f 1 si x 0 , 1
3) Soit la fonction h définie sur
0 , par sin x
2
2
h(0) 0
a) Montrer que h est continue sur
0 , 1
2
b) Vérifier que x 0 , 1 ; h( x) tan x
2
2
c) Montrer que h réalise une bijection de
0 , 1
sur un intervalle k que l’on précisera
2
d) Montrer que
h1 est dérivable sur k et expliciter h1 ’ x
4) Soit a et b les suites définies par : a 1 1
et b 1
n
f k avec n 2
n n n
k 1 k
k 1
a) Vérifier que
k 2
on a f (
k )
k k 1 en déduire que bn est convergente et donner sa limite
b) Montrer que
k 2
on a
1 f (
2 k
k )
2
1
k 1
En déduire que
n 2
on a
2bn n
an 2 bn
n
c) Montrer alors que an est convergente et donner sa limite
BON TRAVAIL