Nom et prénom :………………………..

EXERCICE N°1 (3pts)

Cocher la réponse juste

1/ Sachant que 𝑒^𝑖𝜃 est une solution de l’équation :𝑧² − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑧 + 1 = 0 alors l’autre solution est :

1. a) 𝑒^−𝑖𝜃 b)    𝑖𝑒^𝑖𝜃                            c) 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃

2/ Les racines cubiques de 𝑧 = 4√2 (1 + 𝑖) sont de la forme

𝑖�  𝜋  +2𝑘𝜋�

𝑖� 𝜋 +2𝑘𝜋�

𝑖�  𝜋  +2𝑘𝜋�

𝑎){ 𝑧_𝑘 = 2 𝑒

12        3

; 𝑘 ∈ {0,1,2; 3}}     b) { 𝑧_𝑘 = 2 𝑒    4        3

; 𝑘 ∈ {0,1,2}}   c) { 𝑧_𝑘 = 2 𝑒

12        3

; 𝑘 ∈ {0,1,2}}

3/ Soit f la fonction dérivable sur [1 ;4] et pour tout 𝑥 ∈ [1 ; 4]𝑜𝑛 𝑎 |𝑓^′(𝑥)| ≤ 4   𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠

1. a) |𝑓(4) − 𝑓(1)| ≤ 4 b) |𝑓(4) − 𝑓(1)| ≤ 12 c) |𝑓(4) − 𝑓(1)| ≤ ⁴

3

EXERCICE N°2 (5pts)

On donne la courbe 𝐶_𝑓 représentative dans un repère orthonormé (𝑜 ; 𝚤⃗ ; 𝑗⃗)d’une fonction f deux fois dérivables sur IR ainsi que le tableau de variation de la fonction 𝑓^′𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑑𝑒 𝑓.

• 𝐶_𝑓 admet au voisinage de (−∞) une branche parabolique de direction celle de (𝑜 ; 𝑗⃗)

• 𝐶_𝑓 admet au voisinage de (+∞) une branche parabolique de direction celle de (𝑜 ; 𝚤⃗)

Par lecture graphique

1/ a)Déterminer : 𝑓’(−1) = ⋯     ; 𝑓’(2) = ⋯     ; lim_{𝑥→−∞} ^𝑓(𝑥) = ⋯      ; lim_𝑥→+∞ ^𝑓(𝑥) = ⋯ ; lim_𝑥→0 ^𝑓(𝑥) = ⋯

𝑥                                                                      𝑥                                                       𝑥

et (𝑓𝑜𝑓)^′(−2) =……………….=……………..=………………..

1. Déterminer l’équation de la tangente T à 𝐶_𝑓 au point d’abscisse 1

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

1. Déterminer la position relative de 𝐶_𝑓 par rapport a T sur [1 ; +∞[

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2/ a) Déterminer le signe de 𝑓’’ (dérivée seconde de f )

1. b) En déduire que 𝐶_𝑓 admet un point d’inflexion dont on précisera les coordonnés

…………………………………………………………………………………………………………… 3/ Soit g la restriction de f sur [−1 ; +∞[

1. Montrer que g realise une bijection de [−1 ; +∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.

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1. Montrer que 𝑔⁻¹ (fonction réciproque de g) est dérivable en 1 et calculer (𝑔⁻¹)^′(1)

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4/ a) Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [1 ; +∞[ 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 0 ≤ 𝑓^′(𝑥) ≤ ¹

2

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1. b) Déduire que pour tout 𝛼 ∈ [1 ; +∞[ 𝑜𝑛 𝑎: 𝑓(𝛼) − 1 ≤ ¹ 𝛼 − ¹

2                2

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1. Retrouver la position relative de 𝐶_𝑓 par rapport a T sur [1 ; +∞[

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Exerice n°3 : (𝑪    𝑒𝑡 𝑪′ )

EXERCICE N°3 (6pts)

Soit la fonction f définie sur]−∞; 0]   𝑝𝑎𝑟 𝑓(𝑥) =   ^𝑥2−1

𝑥  +1

et 𝑪 la courbe représentative de f dans un repère

Orthonormé (𝑜 ; 𝚤⃗ ; 𝑗⃗)

1/ Calculer lim_{𝑥→−∞} 𝑓(𝑥) et interpréter graphiquement le résultat 2/ Dresser le tableau de variation de f

3/ Tracer 𝑪 ( sur l’annexe à rendre)

4/ Montrer que f réalise une bijection de ]−∞; 0] sur un intervalle J que l’on précisera. 5/ Soit la fonction g définie sur ]−∞; 0]  𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥

1. Montrer que g réalise une bijection de ]−∞; 0] sur un intervalle K que l’on précisera
2. Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution 𝛼 dans ]−∞; 0]
3. Vérifier que 𝛼 ∈ �⁻³ ; − ¹�

5                2

1. En déduire la position relative de 𝑪 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 Δ : y = x

6/a) 𝑓⁻¹ (fonction réciproque de f ) est-elle dérivable a droite en (-1) ?Justifier votre réponse.

1. b) Calculer 𝑓 �− ¹� , 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓⁻¹ 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 (− ³ )  𝑒𝑡  𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 (𝑓⁻¹)^′(− ³ )

2                                                                                                                                                  5                                                                                   5

1. Tracer C’ la courbe de 𝑓⁻¹ dans le même repère (on précisant sur la demi-tangente). ( sur l’annexe à rendre)
2. Expliciter 𝑓⁻¹(𝑥) pour 𝑥 ∈ 𝐽

EXERCICE N°4 (6pts)

L’espace est muni d’un repère orthonormé �𝑜 ; 𝚤⃗ ; 𝑗⃗ ; 𝑘�⃗�.On considère les points A(1 ; -2 ; 0) ; B(2 ; 1 ;2) C(0 ; -1 ; 0 ) et I(1 ;2 ;1)

1/ a)Montrer que A , B et C déterminent un plan

1. Montrer que l’équation cartésienne du plan P=(ABC) est : 𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎
2. Montrer que les points A ,B,C et I ne sont pas coplanaires
3. Calculer la distance d(I,P) du point I au plan

2/a) Donner un système d’équations paramétriques de la droite D perpendiculaire à P et passant par I

1. Soit H le point d’intersection de P et D . Déterminer les coordonnées de H
2. Retrouver alors la distance d(I,P)

1

3/a) Déterminer l’équation cartésienne du plan Q passant par E(1 ;1 ;1) et de vecteur normal �𝑛⃗ �1�

1

1. Calculer la distance d(I,Q) du point I au plan Q

• Montrer que P et Q sont Et déterminer l’équation paramétrique de la droite 𝛥 = 𝑃 ∩ 𝑄

1. En déduire la distance du point I à la droite Δ