EXERCICE N°1(8points)

Dans le plan complexe rapporté à un orthonormé (O ,𝑢̅→,𝑣→)

1. On considère les points A,B et D d’affixes respectives :

𝑧_𝐴 = 2𝑖 ; 𝑧_𝐵 = −√3 + 𝑖 𝑒𝑡 𝑧_𝐷 = −√3 − 𝑖

• Ecrire 𝑧_𝐴, 𝑧_𝐵 et 𝑧_𝐷 sous forme exponentielle
• Représenter les points A ; B et D
• Montrer que OABD est un losange
• Soit M le point d’affixe 𝑍 = ^{𝑧𝐴 − 𝑧𝐵}

𝑧𝐷 − 𝑧𝐵

a/ Calculer la distance OM (sans Ecrire Z sous forme algébrique) b/ Ecrire Z sous forme algébrique

c/ Ecrire Z sous forme exponentielle

5) Déduire une mesure de l’angle (𝐵̅̅̅̅̅⌃𝐷̅→; ̅𝐵̅̅̅𝐴̅→)

1. On considère les points E,F et K d’affixes respectives

1+𝑖

√2𝑒 𝑖𝛼

1−𝑖

√2𝑒 𝑖𝛼

𝑒𝑡 𝑧_𝐾 = 𝑧_𝐸 + 𝑧_𝐹 avec 𝛼 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑟𝑒é𝑙

• Montrer que 𝑧_𝐸 = 𝑒

𝑖(𝜋−𝛼)

𝑒𝑡 𝑧_𝐹 = 𝑒

−𝑖(𝜋+𝛼)

• Montrer que OEKF est un carré EXERCICE N°2(8points)

Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2 +    ^2𝑥

√𝑥 2 +4

On désigne par  𝜉_𝑓  sa courbe dans un repère orthonormé (𝑂, 𝑖→ , 𝑗→)

• a/ Etudier les branches infinies de 𝜉_𝑓 b/ Dresser le tableau de variation de 𝑓
• a/ Donner une équation de la tangente T au point d’abscisse 0

b/ Etudier la position relative de 𝜉_𝑓 et T

c/ En déduire que le point A(0,2) est un point d’inflexion de 𝜉_𝑓

• a) Montrer que f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle J que l’on précisera.

1. b) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 1 admet une seule solution sur IR

• Construire T et𝜉_𝑓 puis Tracer  ξ_f−1   dans le même repère

EXRCICE N° 3 :(4points)

La courbe ξ_f représentée ci-contre est la

courbe représentative d’une fonction f définie sur [−5,2].On sait que f est continue

et dérivable sur [−5,2[.

Sur la figure sont tracées les tangentes à ξ_f au points d’abscisses respectives -5, -2, 0 et 2 .

On désigne par f ⁻¹ la fonction réciproque de f

• Déterminer graphiquement :

• f ^′ _d(−5)

• lim

x→2−

f(x)−5

x−2

• f ^′ (0)

• (fof)^′ (0)

• f ^′′ (0)
• 𝑓( [−5,2])

• 𝑓⁻¹(−2)

• (𝑓⁻¹)′(−2)

BON TRAVAIL