Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Sciences exp (2017-2018)

NB : Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction et à la présentation.

Exercice n°1 : ( 3 pts )

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte.

On indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

• Le nombre :

2lnæ e ö + 5ln 2 + ln æ 8 ö

è    ø                   è  ø

est égal a :

𝑎/ 1+ 2ln 5

• lim æ1 + ln x ö

est égale à :

𝑏/   8ln 2                                        𝑐/  1+ 4ln 2

x ® 0    è x            ø

𝑎/ 0                                              𝑏/ +∞                                         𝑐/ −∞

æ    ¹      ö

• lim x çe x -1÷

est égale à :

x®+¥     è           ø

𝑎/ 0                                              𝑏/ +¥                                           𝑐/ 1

• Une expérience aléatoire est représenté par l’arbre pondéré suivant :

La probabilité de l’événement A 𝖴 B est :

𝑎/ 0,48                                              𝑏/ 0,94                                      𝑐/ 0,14

Exercice n°2 : ( 3 pts )

On considère l’équation différentielle (E) : y ‘- y = -2xe^x .

• 𝑎/ Vérifier que la fonction u : x

est une solution de (E ) .

𝑏/ Montrer qu’une fonction f est une solution de (E ) si, et seulement si, la fonction h

définie par

h( x) = f (x) – u (x)

est une solution de l’équation (E ‘) : y ‘- y = 0 .

• 𝑎/ Résoudre l’équation (E ‘).

𝑏/ En déduire les solutions de (E ) .

• Dans la figure ci-dessous C et C ‘ sont les courbes d’une solution f de (E )et de la fonction g définie

sur IR par :

(O,i, j ) .

g ( x) = 2xe^x

dans un repère orthonormé

Calculer l’aire A de la région du plan limitée par les

courbes C et C ‘ , et les droites d’équations :

x = -1 et

x = 0 .

Exercice n°3 : ( 6 pts )

Soit f la fonction définie par :

f ( x) =                .

On désigne parC _f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i, j ) .

• 𝑎/ Montrer que f est définie sur ]-ln 2 ; +¥[.

𝑏/ Montrer que pour tout

x Î]-ln 2 ; +¥[ ,

x

f ‘( x) =                              .

𝑐/ Etablir le tableau de variations de f. Préciser

𝑑/ Construire C _f .

(2e^x -1)

f (0) .

2e^x -1

• Soit g la fonction définie sur [0 ; p [par : g (x) = -ln(1+ cos x) .

𝑎/ Montrer que g est une bijection de [0 ; p [ sur [-ln 2 ; +¥[ . On note j = g ^–1 .

𝑏/ Calculer j (0)

et j (ln(2)).

𝑐/ Montrer que j est dérivable sur ]-ln 2 ; +¥[ et que j ‘( x) = f (x) .

• Soit F la fonction définie sur [0 ; +¥[par :  F ( x) = ò0    f (t ) dt .

𝑎/ Montrer que

F ( x) = j ( x) – p .

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𝑏/ On désigne par A l’aire de la région du plan limitée parC _f , l’axe (O,i)

et les droites

d’équations :

x = 0 et

x = ln 2 . Montrer que : A

= p .

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Exercice n°4 : ( 4 pts )

Le tableau ci-dessous indique le nombre annuel exprimé en milliers de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation par une entreprise.

Les résultats seront donnés arrondis à 10^–3

prés.

• Représenter le nuage de points associé à la série statistique ( x_i; y_i )

orthogonal.

dans un repère

• 𝑎/ Calculer le coefficient de corrélation r de cette série, un ajustement affine est il fiable? Si oui déterminer l’équation de la droite de régression de y en x.

𝑏/ Donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 2018.

• Le tableau ci-dessous indique le nombre annuel exprimé en milliers de véhicules vendus de l’année 2014 jusqu’à l’année 2018.

𝑎/ Compléter le nuage de points précédent à l’aide de ces valeurs.

𝑏/ L’ajustement précédent est il encore adapté ? Justifier la réponse.

• Les experts décident d’ajuster le nuage de points associé à la série statistique ( x_i ; y_i )

pour i entier variant de 4 à 8 par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points

pour cela on pose z = ln y .

𝑎/ Calculer le coefficient de corrélation

r ‘ de la série ( x ; z) .

𝑏/ On considère qu’une équation de la droite de régression de z en x est : Déduire l’expression de y en fonction de x.

z = -0,134x + 5, 402 .

𝑐/ L’entreprise décide d’arrêter la fabrication de ce modèle l’année où le nombre annuel de

véhicules vendus devient inférieur ou égal à 50 milles. En quelle année l’entreprise doit – elle prévoir cet arrêt ?

Exercice n°5 : ( 4 pts )

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaines de fabrication A et B sont utilisées.

La chaine A produit 40 % des composants et la chaine B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner. En sortie de la chaine A, 20 % des composants présentent ce défaut, alors qu’en sortie de la chaine B, il ne sont que 5 % .

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On considère les événements :

A : « Le composant provient de la chaine A ». B : « Le composant provient de la chaine B ». S : « Le composant est sans défaut ».

• 𝑎/ Montrer que la probabilité de l’événement S est

p (S ) = 0,89 .

𝑏/ Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il

provienne de la chaine A. ( on donnera le résultat à 10 ^–3

près ).

• La durée de vie, en année, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre l .

On suppose que

p (T ³ 7) = 0,5 . Déterminer l à 10 ^–3

près.

• Dans cette question on prend l = 0, 099 .

𝑎/ On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

𝑏/ On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 7 ans.

• Un magasin délivre 20 composants fabriqués dans cette usine. On suppose que le nombre de composants fabriqués dans cette usine est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à un tirage successif avec remise.

𝑎/ Calculer la probabilité que les 20 composants délivrés sont sans défaut.

𝑏/ Déterminer le nombre moyen des composants sans défaut.