PROF : 𝑀𝑟 AFLI EZZEDDINE DEVOIR DE SYNTHESE MATHEMATIQUES NIVEAU : 𝟒𝟒é𝑚𝑒 sc Durée : 3 heures EXERCICE […]
PROF : 𝑀𝑟 AFLI EZZEDDINE | DEVOIR DE SYNTHESE MATHEMATIQUES | NIVEAU : 𝟒𝟒é𝑚𝑒 sc Durée : 3 heures |
EXERCICE N°1 ( 05 PTS )
L’espace est rapporté a un repère orthonormée ( 0 ; 𝐼⃗ ; 𝐽⃗ ; 𝐾�⃗ ) . on considère les points A( 6 ; 0 ; 0) ; B ( 0 ; 6 ; 0 ) ; C ( 0 ; 0 ; 6 ) et D ( -2 ; -2 ; -2 )
1a) vérifier que les points A ; B et C déterminent un plan P
- b) donner une équation cartésienne du plan P
2a) vérifier que la droite ( OD ) est perpendiculaire à P
- b) donner une représentation paramétrique de la droite ( OD )
- soit H la projeté orthogonal du point O sur le plan P .
- vérifier que H a pour coordonnes (2 , 2 , 2 )
- calculer : HA ; HB et HC et déduire que ( OD ) est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC 4 ) soit Q l’ensemble des points M ( x , y , z ) tel que : MC = MD
- montrer que Q est le plan dont une équation cartésienne est : x + y + 4z – 6 = 0
- montrer que ( OD ) coupe Q en un point 𝑤 dont on précisera les coordonnés
- soit S la sphère de centre 𝑤 et de rayon 3√3
- écrire une équation cartésienne de S
- vérifier que S passe par A , B ; C et D
- quel est l’intersection de S et P
EXERCICE N°2 ( 05 PTS )
Le plan est rapporté a un repère orthonormé ( O ; 𝑈�⃗ ; 𝑉�⃗ )
On considère l’équation (E) : 𝑧2 + ( 1 – i√3 )Z – ( 1 + i√3 ) = 0 1)a) vérifier que : (√3 + 𝑖𝑖 ) 2 = 2 + 2i√3
- b) résoudre dans Ç l’équation ( E ) . on note par 𝑍1 la solution dont la partie réel est positif et 𝑍2
l’autre solution
- soit les nombres complexes a = √3+ 𝑖𝑖
2
et b = 𝑖𝑖√3 − 1
2
- mettre a et b sous forme trigonométrique et représenter leurs points images A et B
- vérifier que 𝑍1= a + b et 𝑍2 = b – a
- montrer que 𝑏
𝑎
est imaginaire pure . que peut –on conclure pour les vecteurs 𝑂
�𝐴�⃗ et �𝑂�𝐵�⃗
- montrer que OA𝑀1𝐵 est un carré puis déduire une construction du point 𝑀1 d’affixe 𝑍1
e ) construire 𝑀2 d’affixe 𝑍2
- mettre sous forme trigonométrique 𝑍1 puis déduire les valeurs exactes de cos( 5𝜋 )et sin(5𝜋 )
12 12
EXERCICE N°3 ( 07 PTS )
- soit la fonction g définie sur ] 0 ; + ∞ [ par g(x) = x + 1 – xLn(x) 1a) montrer que g est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et calculer g’(x)
- dresser le tableau de variation de g
- montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans ] 0 ; + ∞ [ . vérifier que 3< 𝛼 < 4
- donner le signe de g(x) suivant les valeurs de x
- soit la fonction h définie sur ] 0 ; + ∞ [ par h(x) = 1 𝑥2Ln(x)
2
- déterminer h’(x)
- vérifier que pour tout ∈ ] 0 ; + ∞ [ g(x) = 1 + 3 𝑥 – h’(x)
2
- déduire la primitive de g qui s’annule en 1
- soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 𝐿𝑛(𝑥)
𝑥+1
1)déterminer : lim𝑥→0+ 𝑓𝑓(𝑥) et lim𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥)
|
2a) montrer que f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et que f’(x) = 𝑔(𝑥)
𝑥(𝑥+1 )
- b) dresser le tableau de variation de f 3a) vérifier que f(𝛼 ) = 1
𝛼
- b) écrire une équation de la tangente T à 𝐶𝑓𝑓 en 1
- tracer T et 𝐶𝑓𝑓
EXERCICE N°4 ( 03 PTS )
Soit ( 𝐼𝑛 ) la suite définie par 𝐼𝑛 = ∫1 1
dx ; n ≥ 1
- caculer 𝐼1
- vérifier que : 1 -𝐼
= ∫1
𝑥 𝑛
0 1+ 𝑥 𝑛
dx
𝑛 0 1+ 𝑥 𝑛
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3a) montrer que : 0 ≤ 1 -𝐼 ≤ 1
𝑛+1
- b) déduire que la suite ( 𝐼𝑛 ) converge et déterminer sa limite
bon travail