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    4ème année Sciences Mathématiques

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Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Sciences exp (2019-2020)

PROF : 𝑀𝑟 AFLI EZZEDDINE DEVOIR DE SYNTHESE MATHEMATIQUES NIVEAU : 𝟒𝟒é𝑚𝑒  sc Durée : 3 heures     EXERCICE […]

Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Sciences exp (2019-2020)
PROF : 𝑀𝑟 AFLI EZZEDDINE DEVOIR DE SYNTHESE MATHEMATIQUES NIVEAU : 𝟒𝟒é𝑚𝑒  sc Durée : 3 heures

 

 

EXERCICE N°1 ( 05 PTS )

 

L’espace est rapporté a un repère orthonormée ( 0 ; 𝐼⃗ ; 𝐽⃗ ; 𝐾�⃗ ) . on considère les points A( 6 ; 0 ; 0) ; B ( 0 ; 6 ; 0 ) ; C ( 0 ; 0 ; 6 ) et D ( -2 ; -2 ; -2 )

1a) vérifier que les points A ; B et C déterminent un plan P

  1. b) donner une équation cartésienne du plan P

2a) vérifier que la droite ( OD ) est perpendiculaire à P

  1. b) donner une représentation paramétrique de la droite ( OD )
  • soit H la projeté orthogonal du point O sur le plan P .
    1. vérifier que H a pour coordonnes (2 , 2 , 2 )
    2. calculer : HA ; HB et HC et déduire que ( OD ) est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC 4 ) soit Q l’ensemble des points M ( x , y , z ) tel que : MC = MD
  1. montrer que Q est le plan dont une équation cartésienne est : x + y + 4z – 6 = 0
  2. montrer que ( OD ) coupe Q en un point 𝑤 dont on précisera les coordonnés
  • soit S la sphère de centre 𝑤 et de rayon 3√3
    1. écrire une équation cartésienne de S
    2. vérifier que S passe par A , B ; C et D
    3. quel est l’intersection de S et P

EXERCICE N°2 ( 05 PTS )

Le plan est rapporté a un repère orthonormé ( O ; 𝑈�⃗ ; 𝑉�⃗ )

On considère l’équation (E) : 𝑧2 + ( 1 – i√3 )Z – ( 1 + i√3 ) = 0 1)a) vérifier que : (√3 + 𝑖𝑖 ) 2 = 2 + 2i√3

  1. b) résoudre dans Ç l’équation ( E ) . on note par 𝑍1 la solution dont la partie réel est positif et 𝑍2

l’autre solution

 

 

 

  • soit les nombres complexes a = √3+ 𝑖𝑖

2

et b = 𝑖𝑖√3 − 1

2

 

  1. mettre a et b sous forme trigonométrique et représenter leurs points images A et B

 

  1. vérifier que 𝑍1= a + b et 𝑍2 = b – a

 

 

  1. montrer que 𝑏

𝑎

est imaginaire pure . que peut –on conclure pour les vecteurs 𝑂

�𝐴�⃗ et �𝑂�𝐵�⃗

 

  1. montrer que OA𝑀1𝐵 est un carré puis déduire une construction du point 𝑀1 d’affixe 𝑍1

 

e ) construire 𝑀2 d’affixe 𝑍2

 

  • mettre sous forme trigonométrique 𝑍1 puis déduire les valeurs exactes de cos( 5𝜋 )et sin(5𝜋 )

12                         12

 

EXERCICE N°3 ( 07 PTS )

  1. soit la fonction g définie sur ] 0 ; + ∞ [ par g(x) = x + 1 – xLn(x) 1a) montrer que g est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et calculer g’(x)
  2. dresser le tableau de variation de g
  3. montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans ] 0 ; + ∞ [ . vérifier que 3< 𝛼 < 4
  4. donner le signe de g(x) suivant les valeurs de x

 

  • soit la fonction h définie sur ] 0 ; + ∞ [ par h(x) = 1 𝑥2Ln(x)

2

  1. déterminer h’(x)

 

  1. vérifier que pour tout ∈ ] 0 ; + ∞ [ g(x) = 1 + 3 𝑥 – h’(x)

2

  1. déduire la primitive de g qui s’annule en 1

 

  1. soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 𝐿𝑛(𝑥)

𝑥+1

1)déterminer : lim𝑥→0+ 𝑓𝑓(𝑥) et lim𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥)

2

2a) montrer que f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et que f’(x) =     𝑔(𝑥)

𝑥(𝑥+1 )

  1. b) dresser le tableau de variation de f 3a) vérifier que f(𝛼 ) = 1

𝛼

 

  1. b) écrire une équation de la tangente T à 𝐶𝑓𝑓 en 1

 

  • tracer T et 𝐶𝑓𝑓

 

EXERCICE N°4 ( 03 PTS )

 

 

Soit ( 𝐼𝑛 ) la suite définie par 𝐼𝑛 = ∫1        1

dx ; n ≥ 1

 

 

  • caculer 𝐼1

 

  • vérifier que : 1 -𝐼

 

= ∫1

 

 

𝑥 𝑛

0 1+ 𝑥 𝑛

 

 

 

dx

 

𝑛              0 1+ 𝑥 𝑛

𝑛

3a) montrer que : 0 ≤ 1 -𝐼    ≤   1

𝑛+1

 

  1. b) déduire que la suite ( 𝐼𝑛 ) converge et déterminer sa limite

bon travail

 

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