Lycée secondaire : Ibnou sina Menzel Bourguiba                            Année scolaire :2021/2022 Epreuve : Mathématiques (Devoir de synthèse N°2)                                         Classe : 4 sc 1

Prof : Béjaoui                                                                                  Durée : 3 hs

Exercice N° 1 : ( 4 pts)

Dans le graphique ci-contre on a tracé la courbe ( C ) de la fonction f définie sur ] 0 , +∞ [

par :    f( x ) = a x + b + ^𝑙𝑛𝑥

𝑥

; ( a , b ∈ IR).

La courbe ( C ) admet :               

*Une asymptote oblique d’équation : y = – x +2 au voisinage de +∞ .

*Une asymptote verticale d’équation : x = 0.

*Une tangente horizontale au point A (1, 1).

• Par une lecture graphique :

1. Dresser le tableau de variation de f .

1. Déterminer : f( 1) , f ‘( 1 ) , lim

𝑥→+∞

1. En déduire les valeurs de a et

𝑓(𝑥)

𝑥

et    lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) + 𝑥 .

2) Dans la suite on prend pour tout x ∈ ] 0 , +∞ [ : f(x) = 2 – x + ^𝑙𝑛𝑥 et F(x) = ∫𝑥 𝑙𝑛𝑡 𝑑𝑡.

1. Etudier les variations de

1. Soit 𝜆 > Donner une interprétation géométrique de F( 𝜆 ).

𝑥2

1   𝑡2

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que : F( 𝜆 ) = 1 – ^{1 + 𝑙𝑛𝜆}

𝜆

,∀ 𝜆 > 1 .

1. En déduire : lim

𝜆→+∞

𝐹(𝜆).

Exercice N° 2 : ( 3 pts) Soit la suite ( 𝑎

) définie sur IN par :    𝑎

= ∫1

𝑥𝑛

𝑑𝑥.

• Calculer : 𝑎

= ∫1         1

𝑑𝑥

et 𝑎

𝑛

= ∫1        𝑥

𝑑𝑥.

𝑛               0  1 + 𝑥

0            0  1 + 𝑥                                    1              0 1 + 𝑥

• Montrer que la suite ( 𝑎_𝑛 ) est décroissante.
• Montrer que pour tout entier naturel n , on a: 0     ≤ 𝑎_𝑛

≤     1        .

𝑛 + 1

• En déduire que la suite ( 𝑎_𝑛 ) est convergente puis calculer sa limite.

1. A) On considère la fonction f définie sur [ 0 , + ∞ [ par :

𝑓( 𝑥 ) =     𝑥² − 2𝑥²𝑙𝑛𝑥    𝑠𝑖 𝑥 > 0

{ 𝑓( 0 ) = 0

On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O ,⃗→𝑖 , ,⃗→𝑗 ).

• a) Montrer que f est continue à droite en

1. b) Montrer que f est dérivable à droite en Interpréter graphiquement le résultat.

• a) Montrer que : lim

𝑥→+∞

𝑓 ( 𝑥 ) = – ∞ et     lim

𝑥→+∞

𝑓 ( 𝑥 )

𝑥

= – ∞ .

1. b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu .

• a) Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ ,on a : f ‘ ( x ) =  – 4 x lnx .

1. b) Dresser le tableau de variations de

• a) Déterminer le deuxième point d’intersection autre que O de la courbe (C ) et de l’axe (O ,⃗→𝑖 ).

1. b) Tracer la courbe ( C ).

B)

Soit g la restriction de f sur [ 1 , +∞ [.

• Montrer que g est une bijection de [ 1 , +∞ [ sur un intervalle J que l’on précisera.

• Etudier la dérivabilité de fonction 𝑔⁻¹ à gauche en

• Tracer dans le même repère la courbe ( C ’ ) de 𝑔⁻¹.

C)

On désigne par A l’aire en u.a , de la partie ( E ) du plan limitée par les courbes ( C)  , ( C’ ) et les axes  ( O ,⃗→𝑖 ) et ( O ,⃗→𝑗 ).

1) Colorer ( E ) et justifier que :   A = 1 + 2 ∫√𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 .

2) Montrer que : ∫√𝑒 𝑥²𝑙𝑛𝑥

3) En déduire la valeur de A.

𝑑𝑥 = 2 + 𝑒 √𝑒 .

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Le personnel d’un hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et les personnels TA (technique ou administratif ).

12 % des personnels sont des médecins et 71 % sont des soignants .

67 % des médecins sont des hommes et 92 % des soignants sont des femmes.

On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. On considère les évènements suivants:

M :« le membre interrogé est un médecin ». F :« le membre interrogé est une femme ». S :« le membre interrogé est un soignant ».

• Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.
• Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?
• Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?
• On sait que 80 % du personnel et féminin.

1. Calculer la probabilité d’interroger une femme
2. En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel TA

Bon Travail

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