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    4ème année Techniques Mathématiques

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Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Technique (2018-2019)

  EXERCICE N1(4points) Soit la fonction 𝑓 définie sur R dont la courbe représentative 𝐶𝑓   Déterminer graphiquement 𝑓(𝟎𝟎) ; […]

Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Technique (2018-2019)

 

EXERCICE N1(4points)

Soit la fonction 𝑓 définie sur R dont la courbe représentative 𝐶𝑓

 

  • Déterminer graphiquement

𝑓(𝟎𝟎) ; 𝑓 (𝟎𝟎) ; 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝗑→+∞ 𝑓(𝗑) et

 

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 ( 𝑓(𝗑) − 𝟑𝟑𝗑)

𝗑→+∞

  • On admet que                                                              

𝑓(𝗑) = 𝟐𝟐𝑒−𝗑 + 𝑎𝗑 + 𝑏                                                       

Ou 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont deux nombres réels

  1. Déterminer 𝑓 (𝗑)
  2. Déterminer les valeurs de 𝑎 𝑒𝑡 𝑏

et en déduire l’expression de 𝑓(𝗑)

  • Soit 𝑓 définie sur R par :

𝑓(𝗑) = 𝟐𝟐𝑒−𝗑 + 𝟑𝟑𝗑 − 𝟒𝟒

  1. a) Calculer 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝗑→+∞ 𝑓(𝗑)

 

𝑒𝑡 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

𝗑→−∞

𝑓(𝗑)

 

  1. Démontrer que la droite

∆: 𝑦 = 𝟑𝟑𝗑 − 𝟒𝟒

est une asymptote à la courbe Représentative 𝐶𝑓 au voisinage de (+∞)

  1. Dresser le tableau de variations de 𝑓

Exercice n°2 (5 points)

  • un candidat prépare un examen de 7 matières dont 4 fondamentales et 3 options. Le candidat a révisé 3 matières fondamentales et 2 options .Chaque matière comporte un seul sujet

le candidat choisit au hasard et simultanément 3 sujets. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

A :≪ 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝒄𝒄𝑑𝑎𝑡 𝑎 𝑐ℎ𝑜𝒄𝒄𝑠𝒄𝒄 𝑡𝑟𝑜𝒄𝒄𝑠 𝑚𝑎𝑡𝒄𝒄è𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 ≫

B :≪ 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝒄𝒄𝑑𝑎𝑡 𝑎 𝑐ℎ𝑜𝒄𝒄𝑠𝒄𝒄 𝑑𝑒𝑢𝗑 𝑚𝑎𝑡𝒄𝒄è𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑣𝒄𝒄𝑠é𝑒𝑠 ≫

C :≪ 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝒄𝒄𝑑𝑎𝑡 𝑎 𝑐ℎ𝑜𝒄𝒄𝑠𝒄𝒄 𝑑𝑒𝑢𝗑 𝑚𝑎𝑡𝒄𝒄è𝑟𝑒𝑠  𝑟é𝑣𝒄𝒄𝑠é𝑒𝑠 𝑠𝑎𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡 𝒒𝒒𝑢 𝒄𝒄𝑙 𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢

𝑡𝑟𝑜𝒄𝒄𝑠 𝑚𝑎𝑡𝒄𝒄è𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 ≫

  • Soit 𝑿𝑿 la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de sujets révisés choisis par le candidat
    1. Déterminer la loi de probabilité de 𝑿𝑿
    2. Calculer l’espérance et l’écart type de 𝑿𝑿
  • Une deuxième épreuve sous forme de C.M comporte cinq questions indépendantes concernant les matières non révisées par le candidat. Pour chacune d’entre elles sont proposées quatre repenses dont une seule est exacte.

 

 

 

Le candidat répond alors au hasard à chaque question

Soit 𝑌 la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de repenses exacte données par le candidat

  1. Déterminer la loi de probabilité de 𝑌
  2. b) Calculer 𝐸(𝑌) ; 𝑉(𝑌) et 𝜎(𝑌)
  3. c) Le candidat est déclaré admis s’il répond exactement à au moins trois Calculer la probabilité pour que le candidat soit admis.

EXERCICE N3(5points)

une entreprise de services d’une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années

le rang 𝗑𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 est donné pour l’année 2000 . la consommation est exprimée en milliers de dinars

Année 2000 2002 2003 2004 2006
Rang de l’année 𝗑𝒄𝒄 1 3 4 5 7
Consommation en milliers de dinars   𝑦𝒄𝒄 28,5 35 52 70,5 100,5
  • Représenter le nuage des points 𝑀𝒄𝒄(𝗑𝒄𝒄; 𝑦𝒄𝒄) dans un repère orthogonal (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1cm pour 10000 dinars en ordonnée)
  • Déterminer les coordonnées du point moyen 𝐺 de ce nuage ; placer dans le repère précédent
  • On réalise un ajustement linéaire de ce nuage par la droite 𝐷: 𝑦 = 𝟏𝟏𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝗑 + 𝑏
    1. Justifier l’existence d’un tel ajustement
    2. Déterminer la valeur 𝑏 puis construire la droite 𝐷 dans le repère précédent
  • Déterminer à l’aide de l’ajustement précédent ; la consommation estimée des ménages de cette ville en 2007
  • a) Recopier  et  compléter  le  tableau  suivant  sachant  que  𝒛𝒛 = 𝐥𝐥𝐥𝐥⁡(𝑦).les  résultats seront arrondis au centième.
𝗑𝒄𝒄 1 3 4 5 7 8
𝑦𝒄𝒄 28,5 35 52 70,5 100,5 140
𝒛𝒛𝒄𝒄 = 𝐥𝐥𝐥𝐥⁡(𝑦𝒄𝒄) 3,35 ……………. ……………… …………….. ………….. 4,94

 

  1. Déterminer l’équation réduite de la droite de régression de z en 𝗑 obtenue par la méthode de moindres carrées, cette équation est de la forme 𝒛𝒛 = 𝑐𝗑 + 𝑑

(on donnera les arrondis des coefficients 𝑐 𝑒𝑡 𝑑 à 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 prés)

  1. En déduire que 𝑦 = 𝑎𝑒𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟑𝟑𝗑 (au a est un coefficient que l’ont déterminera)
  2. Estimer alors , à l’aide de ce nouvel ajustement , la consommation des ménages de cette ville en 2008 à 100 dinars prés

 

 

EXERCICE N4(6points)  

𝗑−𝟏𝟏
  • Soit 𝑓 la fonction définie sur ]𝟏𝟏; +∞[ par :𝑓(𝗑) = 𝗑

+ 𝐥𝐥𝐥𝐥⁡(𝗑 − 𝟏𝟏)

 

 

 

 

 

 

  • On note (𝐶𝑓) sa courbe dans le plan rapporté à un repère orthonormé(𝑜; 𝒄𝒄⃗; 𝒋𝒋⃗)
(𝗑−𝟏𝟏)𝟐𝟐
  1. a) Vérifier que 𝑓 (𝗑) =   𝗑−𝟐𝟐
𝗑−𝟏𝟏
  1. b) Vérifier que 𝑓(𝗑) =   𝟏𝟏   [𝗑 + (𝗑 − 𝟏𝟏)𝑙𝑛(𝗑 − 𝟏𝟏)] et en déduire 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝗑→𝟏𝟏+  𝑓(𝗑)
  2. c) Etablir le tableau de variation de 𝑓
  • Montrer que la courbe (𝐶𝑓) admet un point d’inflexion 𝐼 dont on déterminera les coordonnées
𝟑𝟑
  • Ecrire une équation cartésienne de la tangente (𝑇) à (𝐶𝑓) au point d’abscisse 𝟐𝟐

𝑓(𝗑)

  • a) Montrer que 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝗑→+∞  𝗑     = 𝟎𝟎 et interpréter graphiquement le résultat
  1. b) tracer  (𝑇) et (𝐶𝑓) dans le repère (𝑜; 𝒄𝒄⃗; 𝒋𝒋⃗) (unité 1 cm)
  • soit 𝑎 un réel strictement supérieure à 2
    1. par intégration par partie montrer que

 

∫𝑎 𝐥𝐥𝐥𝐥(𝗑 − 𝟏𝟏) 𝑑𝗑 = 𝑎 𝐥𝐥𝐥𝐥(𝑎 − 𝟏𝟏) − ∫𝑎  𝗑

𝑑𝗑

 

𝟐𝟐                                                                                                                𝟐𝟐   𝗑−𝟏𝟏

  1. En déduire l’aire 𝘗 de la partie du plan limitée par la courbe (𝐶𝑓) l’axe des abscisses et les deux droites d’équations : 𝗑 = 𝟐𝟐 𝑒𝑡 𝗑 = 𝑎
  1. Soit 𝑔 la fonction définie sur ]𝟏𝟏; +∞[ par 𝑔(𝗑) = 𝑓(𝗑) − 𝗑
    • a) Calculer 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝗑→+∞ 𝑔(𝗑) ( on pourra remarquer qu’on peut écrire
)

𝑔(𝗑) = 𝗑(𝑓(𝗑) − 𝟏𝟏)

𝗑

  1. b) Montrer que 𝑔 réalise une bijection de ]𝟏𝟏; +∞[ sur R
  • Calculer 𝑔(𝟐𝟐) et en déduire que pour tout réel 𝗑 ∈ ]𝟐𝟐; +∞[ on a 𝑓(𝗑) ≤ 𝗑
  • On désigne par 𝑔𝟏𝟏 la fonction réciproque de 𝑔
    1. Montrer que 𝑔𝟏𝟏 est dérivable en 0
    2. b) Calculer ( 𝑔𝟏𝟏)′(𝟎𝟎)

𝑢𝟎𝟎 = 𝟑𝟑

  • Soit u la suite définie sur N par �𝑢𝑛+𝟏𝟏 = 𝑓(𝑢𝑛)
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :𝑢𝑛 ≥ 𝟐𝟐
    2. Montrer que la suite u est décroissante
    3. En déduire que la suite u est convergente et calculer sa limite.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bon travail

 

 

 

 

 

 

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