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    4ème année Techniques Mathématiques

  • Devoir de Synthèse N°2 - Math - Bac Technique (2021-2022)

Devoir de synthèse N°2 Math bac technique

Lycée secondaire : Ibnou sina Menzel Bourguiba                                    Année scolaire :2021/2022 Epreuve : Mathématiques (Devoir de synthèse N°2)                             Classe : 4 […]

Devoir de synthèse N°2 Math bac technique

Lycée secondaire : Ibnou sina Menzel Bourguiba                                    Année scolaire :2021/2022

Epreuve : Mathématiques (Devoir de synthèse N°2)                             Classe : 4 T 2

Prof : Béjaoui                                                                                      Durée : 3 hs

 

 

 

Exercice N° 1 : ( 2 pts)

 

Indiquer la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.

Dans la figure ci-contre ABCDEFGH est un cube d’arête 1 , I=B*C , M = B*F , , 𝐺⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗→  = 3 𝐺⃗⃗⃗⃗𝐶⃗→  et P le centre du carré ADHE . On munit

2

l’espace du repère orthonormé (A, ⃗𝐴⃗⃗⃗𝐵⃗→  , 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗→ , ⃗𝐴⃗⃗⃗𝐸⃗→).     

 

 

1)  𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝐼→ . ⃗𝐵⃗⃗⃗𝐶⃗→  est égal à :        a)   1

2

2) Le plan (MNP) a pour équation cartésienne :

  1. 3 2
  1. 5

2

 

  1. a) x +2y -2z + 2 = 0 b) x – 2y +2z + 2 = 0 c) x + 2y +2z – 2 =

Exercice N° 2 : ( 4 pts)

 

Dans le graphique ci-contre on a tracé la courbe ( C ) de La fonction f définie sur ] 0 , +∞ [ par :

 

f( x ) = a x + b + 𝑙𝑛𝑥

𝑥

; ( a , b ∈ IR).

 

 

La courbe ( C ) admet :                               

 

*Une asymptote oblique d’équation :y = – x +2 au voisinage de +∞ .

*Une asymptote verticale d’équation : x = 0.

 

*Une tangente horizontale au point A (1, 1).

 

  • Par une lecture graphique :

 

  1. Dresser le tableau de variation de f .

 

 

  1. Déterminer : f( 1) , f ‘( 1 ) , lim

𝑥→+∞

 

  1. En déduire les valeurs de a et

𝑓(𝑥)

 

𝑥

et    lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) + 𝑥 .

 

  • On prend dans toute le suite : f( x ) = 2 – x + 𝑙𝑛𝑥 .

𝑥

 

  1. Déterminer F la primitive de f sur ] 0 , +∞ [ qui s’annule en

 

  1. Dresser le tableau de variation se

 

 

exercice 3

A)

 

On considère la fonction g définie sur ] 0 , + ∞ [ par : g( x ) = x(x -1) + lnx

 

  • Dresser le tableau de variations de g .
  • Calculer g(1) . En déduire le signe de g( x ).

 

B)

 

Soit la fonction f définie sur ] 0 , + ∞ [ par : f( x ) = (𝑥 − 1)2 + (𝑙𝑛𝑥)2.

 

On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O ,⃗→𝑖 , ,⃗𝑗→ ).

 

 

  • a) Calculer : lim

𝑥→0+

𝑓 ( 𝑥 ) ,    lim

𝑥→+∞

𝑓 ( 𝑥 )   et      lim

𝑥→+∞

𝑓 ( 𝑥 )   .

𝑥

 

  1. b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus .

 

  • a) Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ ,on a : f ‘ ( x ) = 2 𝑔(𝑥) .

𝑥

 

  1. Dresser le tableau de variations de

 

  1. Tracer la courbe ( C ).
  2. Soit h la restriction de f sur ] 0 , 1 ].

 

  • a) Montrer que h est une bijection de ] 0 , 1 ] sur un intervalle J que l’on précisera.

 

  1. b) Montrer que l’équation h( x ) = x admet une unique solution 𝛼 dans ]0,1].

 

Vérifier que : 0,5 < 𝛼 < 0,6 .

 

2)

 

a)Etudier la dérivabilité de fonction ℎ−1à droite en 0. b)Déterminer le domaine de dérivabilité de ℎ−1.

  1. Exprimer (ℎ−1)(𝛼) en fonction de 𝛼.

 

  1. Tracer la courbe ( C ’ ) de la fonction ℎ1 dans le même repère ( O ,⃗→𝑖 , ,⃗𝑗→ ).

 

 

exercice 4

L’espace étant rapporté à un repère orthonormé  (O, 𝑖→  , 𝑗→ , 𝑘⃗→).

𝑥 = −1 + 2 𝛼

 

On considère la droite D : {𝑦 =        4 −    𝛼

𝑧   =   −1 + 𝛼

; ( 𝛼 ∈ IR )

 

1) Vérifier que la droite D passe par le point A (1 ,3 ,0) et donner un vecteur directeur de D.

  • Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point E( -1 , 1 , -2) et perpendiculaire à la droite D .
  • a) Déterminer les coordonnées du point H intersection de D et

b)En déduire la distance du point A au plan P.   

  • Soit le plan Q d’équation : x – y – 3 z + 5 = 0 .
    1. Vérifier que les plans P et Q sont
    2. Donner une représentation paramétrique de leur droite d’ intersection ∆.
  • Calculer la distance d du point A au plan Q.
  • Soit F le projeté orthogonal de A sur le plan Le Plan (AFH) coupe la droite ∆ en K.
    1. Déterminer les coordonnées du point F .
    2. Calculer la distance

 

 

 

 

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