Lycée secondaire : Ibnou sina Menzel Bourguiba Année scolaire :2021/2022 Epreuve : Mathématiques (Devoir de synthèse N°2) Classe : 4 […]
Lycée secondaire : Ibnou sina Menzel Bourguiba Année scolaire :2021/2022
Epreuve : Mathématiques (Devoir de synthèse N°2) Classe : 4 T 2
Prof : Béjaoui Durée : 3 hs
Exercice N° 1 : ( 2 pts)
Indiquer la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
Dans la figure ci-contre ABCDEFGH est un cube d’arête 1 , I=B*C , M = B*F , , 𝐺⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗→ = 3 𝐺⃗⃗⃗⃗𝐶⃗→ et P le centre du carré ADHE . On munit
2
l’espace du repère orthonormé (A, ⃗𝐴⃗⃗⃗𝐵⃗→ , 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗→ , ⃗𝐴⃗⃗⃗𝐸⃗→).
1) 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝐼→ . ⃗𝐵⃗⃗⃗𝐶⃗→ est égal à : a) 1
2
2) Le plan (MNP) a pour équation cartésienne :
- 3 2
- 5
2
- a) x +2y -2z + 2 = 0 b) x – 2y +2z + 2 = 0 c) x + 2y +2z – 2 =
Exercice N° 2 : ( 4 pts)
Dans le graphique ci-contre on a tracé la courbe ( C ) de La fonction f définie sur ] 0 , +∞ [ par :
f( x ) = a x + b + 𝑙𝑛𝑥
𝑥
; ( a , b ∈ IR).
La courbe ( C ) admet :
*Une asymptote oblique d’équation :y = – x +2 au voisinage de +∞ .
*Une asymptote verticale d’équation : x = 0.
*Une tangente horizontale au point A (1, 1).
- Par une lecture graphique :
- Dresser le tableau de variation de f .
- Déterminer : f( 1) , f ‘( 1 ) , lim
𝑥→+∞
- En déduire les valeurs de a et
𝑓(𝑥)
𝑥
et lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) + 𝑥 .
- On prend dans toute le suite : f( x ) = 2 – x + 𝑙𝑛𝑥 .
𝑥
- Déterminer F la primitive de f sur ] 0 , +∞ [ qui s’annule en
- Dresser le tableau de variation se
exercice 3
A)
On considère la fonction g définie sur ] 0 , + ∞ [ par : g( x ) = x(x -1) + lnx
- Dresser le tableau de variations de g .
- Calculer g(1) . En déduire le signe de g( x ).
B)
Soit la fonction f définie sur ] 0 , + ∞ [ par : f( x ) = (𝑥 − 1)2 + (𝑙𝑛𝑥)2.
On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O ,⃗→𝑖 , ,⃗𝑗→ ).
- a) Calculer : lim
𝑥→0+
𝑓 ( 𝑥 ) , lim
𝑥→+∞
𝑓 ( 𝑥 ) et lim
𝑥→+∞
𝑓 ( 𝑥 ) .
𝑥
- b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus .
- a) Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ ,on a : f ‘ ( x ) = 2 𝑔(𝑥) .
𝑥
- Dresser le tableau de variations de
- Tracer la courbe ( C ).
- Soit h la restriction de f sur ] 0 , 1 ].
- a) Montrer que h est une bijection de ] 0 , 1 ] sur un intervalle J que l’on précisera.
- b) Montrer que l’équation h( x ) = x admet une unique solution 𝛼 dans ]0,1].
Vérifier que : 0,5 < 𝛼 < 0,6 .
2)
a)Etudier la dérivabilité de fonction ℎ−1à droite en 0. b)Déterminer le domaine de dérivabilité de ℎ−1.
- Exprimer (ℎ−1)′(𝛼) en fonction de 𝛼.
- Tracer la courbe ( C ’ ) de la fonction ℎ−1 dans le même repère ( O ,⃗→𝑖 , ,⃗𝑗→ ).
exercice 4
L’espace étant rapporté à un repère orthonormé (O, 𝑖→ , 𝑗→ , 𝑘⃗→).
𝑥 = −1 + 2 𝛼
On considère la droite D : {𝑦 = 4 − 𝛼
𝑧 = −1 + 𝛼
; ( 𝛼 ∈ IR )
1) Vérifier que la droite D passe par le point A (1 ,3 ,0) et donner un vecteur directeur de D.
- Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point E( -1 , 1 , -2) et perpendiculaire à la droite D .
- a) Déterminer les coordonnées du point H intersection de D et
b)En déduire la distance du point A au plan P.
- Soit le plan Q d’équation : x – y – 3 z + 5 = 0 .
- Vérifier que les plans P et Q sont
- Donner une représentation paramétrique de leur droite d’ intersection ∆.
- Calculer la distance d du point A au plan Q.
- Soit F le projeté orthogonal de A sur le plan Le Plan (AFH) coupe la droite ∆ en K.
- Déterminer les coordonnées du point F .
- Calculer la distance