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    4ème année Techniques Mathématiques

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Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Toutes Sections (2018-2019)

                  Exercice n°1 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé R= (o,i, […]

Devoir de Synthèse N°2 – Math – Bac Toutes Sections (2018-2019)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice n°1

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé R=

(o,i, j, k) , on considère les

 

points A(1, 1, 1), B(0, 1, -1) et  C(-1, 0, 1) et le plan P : x – z +3 = 0.

  • a) Montrer que les points O, A et B déterminent un plan Q
    1. Donner une équation cartésienne du plan Q
  • Montrer que les plans P et P’ : 2x – y – z = 0 sont sécants selon une droite D

dont on déterminera une représentation paramétrique.

  • a) Caractériser l’ensemble S d’équation : x² + y² + z² – 2x – 2z + 1= 0
    1. Montrer que SÇ P’ est un cercle dont on précisera le centre w et le rayon

 

 

 

Exercice n°2

 

Soit f la fonction définie par f( x ) = x

1     .

ex -1

 

  1. 1) Dresser le tableau de variation de
  • a) Montrer que (Cf) admet deux asymptotes obliques d’équations respectives :

D : y = x et D ’ : y= x + 1

  1. b) Montrer que w(0; 1/ 2) est un centre de symétrie de (Cf).
  • Soit g la restriction de f sur ]0, +¥[
    1. Montrer que g réalise une bijection de ]0, + ¥[ sur IR.
    2. En déduire que l’équation g(x) = 0, admet une unique solution a et que :

Log2 < a < 1

  1. Montrer que f ’(a ) = 1+a +a ²
  2. Ecrire une équation de la tangente T à (Cf) au point d’abscisse a
  3. Tracer T, D , D ’ et (Cf) dans un repère orthonormé R= (o, i , j ) .(on prenda

=0.8)

  1. On désigne par g-1 la fonction réciproque de g et (C’) sa courbe représentative dans le repère R.
    • Montrer que g-1 est dérivable sue IR et calculer (g-1)’(0) en fonction de a .
    • La courbe (C’) coupe (xx’) en un point I, écrire la tangente T’ à (C’) en
    • Tracer (C’) et T’ dans le même repère R.

 

Exercice N°3

 

I-       Soit la fonction g définie sur ]0, +¥[ par g( x) = x2 – 1 + ln( x)

 

1/ Justifier les résultats du tableau de variation de g

2/ Déduire le signe de g(x )

 

  • Soit f la fonction définie sur ]0, +¥[ par f(x) =x – ln(x)

x

 

1/a) Vérifier que pour tout x de]0, +¥[

on a

f ‘(x) = g(x)

x2

 

  1. b) Dresser le tableau de variation de f

 

2/a) Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à zf

 

  1. b) Etudier les positions relatives de zf

et D

 

3/ Compléter zf

et D sur la feuille annexe

 

 

 

4/Soit h la restriction de f sur ]0,1 ]

  1. Montrer que h réalise une bijection de ]0,1 ]

sur [1, +¥[

 

  1. Construire

repère que

z -1

h

zf

la courbe de la fonction réciproque de h dans le même

 

5/ Déterminer la primitive F de f sur ]0, +¥[

 

qui s’annule en 1.

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