Exercice n°1 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé R= (o,i, […]
Exercice n°1
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé R=
(o,i, j, k) , on considère les
points A(1, 1, 1), B(0, 1, -1) et C(-1, 0, 1) et le plan P : x – z +3 = 0.
- a) Montrer que les points O, A et B déterminent un plan Q
- Donner une équation cartésienne du plan Q
- Montrer que les plans P et P’ : 2x – y – z = 0 sont sécants selon une droite D
dont on déterminera une représentation paramétrique.
- a) Caractériser l’ensemble S d’équation : x² + y² + z² – 2x – 2z + 1= 0
- Montrer que SÇ P’ est un cercle dont on précisera le centre w et le rayon
Exercice n°2
Soit f la fonction définie par f( x ) = x –
1 .
ex -1
- 1) Dresser le tableau de variation de
- a) Montrer que (Cf) admet deux asymptotes obliques d’équations respectives :
D : y = x et D ’ : y= x + 1
- b) Montrer que w(0; 1/ 2) est un centre de symétrie de (Cf).
- Soit g la restriction de f sur ]0, +¥[
- Montrer que g réalise une bijection de ]0, + ¥[ sur IR.
- En déduire que l’équation g(x) = 0, admet une unique solution a et que :
Log2 < a < 1
- Montrer que f ’(a ) = 1+a +a ²
- Ecrire une équation de la tangente T à (Cf) au point d’abscisse a
- Tracer T, D , D ’ et (Cf) dans un repère orthonormé R= (o, i , j ) .(on prenda
=0.8)
- On désigne par g-1 la fonction réciproque de g et (C’) sa courbe représentative dans le repère R.
- Montrer que g-1 est dérivable sue IR et calculer (g-1)’(0) en fonction de a .
- La courbe (C’) coupe (xx’) en un point I, écrire la tangente T’ à (C’) en
- Tracer (C’) et T’ dans le même repère R.
Exercice N°3
I- Soit la fonction g définie sur ]0, +¥[ par g( x) = x2 – 1 + ln( x)
1/ Justifier les résultats du tableau de variation de g
2/ Déduire le signe de g(x )
- Soit f la fonction définie sur ]0, +¥[ par f(x) =x – ln(x)
x
1/a) Vérifier que pour tout x de]0, +¥[
on a
f ‘(x) = g(x)
x2
- b) Dresser le tableau de variation de f
2/a) Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à zf
- b) Etudier les positions relatives de zf
et D
3/ Compléter zf
et D sur la feuille annexe
4/Soit h la restriction de f sur ]0,1 ]
- Montrer que h réalise une bijection de ]0,1 ]
sur [1, +¥[
- Construire
repère que
z -1
|
zf
la courbe de la fonction réciproque de h dans le même
5/ Déterminer la primitive F de f sur ]0, +¥[
qui s’annule en 1.