EXERCICE N°1 ( 4.5 PTS )

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormée ( O , 𝑈�⃗ ; 𝑉�⃗ )

On considère les points A ; B ; C et D d’affixes respectives a = 1 + i ; b = √3 – i c = √3 + 1 + i (√3 – 1)et d = 1 + i√3

1) donner les formes trigonométriques de a ; b et d

2) montrer que : ( 1 + 𝑖𝑖√3 )²⁴ + ( 1 − 𝑖𝑖√3 )²⁴ = 2²⁵

• a ) vérifier que : b + d = c et ac = 2d

1. montrer que OBCD est carré

1. écrire la forme trigonométrique de c

1. déduire les valeurs exactes de cos( ^𝜋 ) et sin( ^𝜋 )

12                            12

• à tout point M d’affixe z distinct de A on associe le point M’ d’affixe z’ = ^{𝑧 −𝑖𝑖𝑏}

𝑧− 𝑎

1. déterminer l’ensemble des points M tel que z’ soit réel

1. déterminer l’ensemble des points M’ lorsque M décrit la médiatrice du segment [𝐴𝐷]

EXERCICE N° 2 ( 05 PTS )

une caisse d’assurance maladie propose à ses affilés une modalité d’hospitalisation m . les employés d’une entreprise sont tous affiliés à cette caisse d’assurance et on sait que le ¹ des

3

employés choisissent la modalité m.

• parmi les employés qui ont choisi la modalité m , 80 % sont atteint d’une maladie chronique

• parmi les employés qui n’ ont pas choisi la modalité m , 75 % sont atteint d’une maladie chronique

On choisit un employé au hasard et on considère les évènements suivants :

M « l’employé choisit la modalité m » et C «l’employé est atteint d’une maladie chronique » 1a) déterminer les probabilités suivants : p ( M ) ; p ( C/ M ) et  p ( C/ 𝑀� )

1. b) construire un arbre pondéré décrivant cette situation

2a) calculer la probabilité que cet employé ait choisit la modalité m et soit atteint d’une maladie chronique

1. calculer la probabilité que cet employé n’ ai pas choisit la modalité m et soit atteint d’une maladie chronique
2. en déduire p ( C )

3) soit l’événement E « l’employé choisit la modalité m sachant qu’il est atteint d’une maladie chronique » . montrer que p ( E ) = ⁸

23

EXERCICE N°3 ( 07 PTS )

On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f(𝑥) = ^𝑒𝑥 − 1

𝑥𝑒 + 1

et on désigne par ( C ) sa courbe

représentative dans un repère orthonormé

1. soit la fonction g définie sur [ 0 ; + ∞ [ par g(x) = 𝑥 + 2 – 𝑒^𝑥

1a) dresser le tableau de variation de g

1. b) montrer que l’équation g(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 et vérifier que : 1,14 < 𝛼 < 1,15

• déduire le signe de g(𝑥) suivant les valeurs de x

• 1a) montrer que pour tout 𝑥 ∈ [ 0 ; + ∞ [ f’(𝑥) = ^𝑒𝑥

( 𝑥𝑒   + 1)

g(𝑥)

1. b) déduire le sens de variation de f sur [ 0 ; + ∞ [

2a) montrer que pour tout 𝑥 ∈ [ 0 ; + ∞ [ f(𝑥) = ^{1 − 𝑒}−𝑥

𝑥+ 𝑒

1. b) déduire la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement le résultat

• établir que f(𝛼 ) = ¹

𝛼+1

et déduire un encadrement de f(𝛼 )

• déterminer une équation de la tangente T a ( C ) en 0

5)a) vérifier que f(𝑥) – 𝑥 = ^{( 𝑥+1 )𝑈 (𝑥)} avec U(𝑥) = 𝑒^𝑥 – 𝑥𝑒^𝑥 – 1

𝑥 𝑒   + 1

1. étudier le sens de variation de la fonction U

1. déduire la position relative de (C ) et T

6) tracer T et ( C )

EXERCICE N°4 ( 3.5 PTS )

(Tous les résultats seront arrondis à 10⁻² prés )

Le tableau suivants donne l’évolution du pourcentage des logiciels piratés dans un pays

1) représenter le nuage de points de la série ( X ; Y ) dans un repère orthogonal 2a) calculer les coordonnés du point moyen G et placer le .

1. b) calculer V(X) ; 𝜎(Y) et COV ( X ; Y )

• on pose Z = ln(Y)

1. dresser un tableau donnant les valeurs de X_𝑖𝑖 et 𝑍_𝑖𝑖
2. calculer le coefficient de corrélation entre X et Z et interpréter le résultat

1. donner l’équation de la droite de régression de Z en X par la méthode des moindres carrés

1. déduire deux réels a et b tel que : Y = a 𝑒^𝑏𝑥
2. déduire une estimation du pourcentage des logiciels piratés en 2012

Bon travail

Vers la faculté